Susana g.M.

Susana G.M.

Análisis de Software sobre fractales

Susana G.M.

En el proceso de creación de un modelo de simulación es frecuente encontrar que los elementos del sistema se comportan de manera sorprendente e incluso totalmente inesperada. También puede ocurrir que los cambios que efectuamos en las condiciones iniciales produzcan efectos contrarios o muy distintos a los previstos, y aún más, que pequeños cambios en los valores iniciales generen grandes diferencias en el comportamiento de los elementos del sistema. Fiel ejemplo es el rodaje de la película Efecto Mariposa, donde modela de manera sencilla el comportamiento meteorológico, logrando respuestas sorprendentes. A través de la aplicación de un sistema de 3 ecuaciones diferenciales, con un modelo de simulación dinámica, considerando que las ecuaciones precedentes resultan de un proceso usual en el análisis de fenómenos físicos y químicos, adimensionando las variables que establecen relaciones entre las fuerzas impulsoras del cambio en el sistema en estudio, o sea de su dinámica. Este es el caso del atractor de Lorenz, con la curiosa forma similar a una mariposa, en sus palabras: “sucede que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales impactan grandemente en el fenómeno final. Un pequeño cambio al principio provoca enormes errores al final. La predicción se vuelve imposible”.

 
Teoría del Caos

Quizás sin saberlo hemos creado un modelo de simulación con una estructura y una forma de relación entre variables tal que, bajo determinadas condiciones, presenta una forma de comportamiento que se conoce como caos. Una definición del caos establece que es “un comportamiento aperiódico en un sistema determinista que muestra gran sensibilidad respecto a las condiciones iniciales”.

No es necesario que el modelo de simulación tenga un aspecto extremadamente complejo, con muchas variables, parámetros y retroalimentaciones. Los numerosos estudios realizados respecto al tema establecen que con tres ecuaciones diferenciales y una no-linealidad en alguna de ellas tenemos las condiciones necesarias para que el sistema presente bajo ciertas condiciones un comportamiento caótico.

 La Teoría del Caos ha despertado considerable interés, ya que muestra la realidad interconectada que nos rodea y llena de bucles de retroalimentación, donde cada elemento integrante actúa para modificar el comportamiento del medio que lo rodea, pero no lo hace en forma independiente sino obedeciendo a un comportamiento integrado del conjunto. Por ende la Teoría de Caos es particularmente útil para abordar el estudio de los fenómenos sociales, siempre complejos y difíciles de resolver en términos de relaciones lineales causa-efecto. Como ejemplos, me parece interesante dejar mencionado algunos fenómenos físicos o de sistemas puramente matemáticos que facilitan la comprensión de los comportamientos caóticos antes de pasar a situaciones mucho más difíciles de modelar, como son los fenómenos sociales. Entre ellos, el péndulo forzado como fenómeno físico o una ecuación diferencial de tercer orden como modelo matemático.

EL EFECTO MARIPOSA

En el proceso de creación de un modelo de simulación es frecuente encontrar que los elementos del sistema se comportan de manera sorprendente e incluso totalmente inesperada. También puede ocurrir que los cambios que efectuamos en las condiciones iniciales produzcan efectos contrarios o muy distintos a los previstos, y aún más, que pequeños cambios en los valores iniciales generen grandes diferencias en el comportamiento de los elementos del sistema. Fiel ejemplo es el rodaje de la película Efecto Mariposa, donde modela de manera sencilla el comportamiento meteorológico, logrando respuestas sorprendentes. A través de la aplicación de un sistema de 3 ecuaciones diferenciales, con un modelo de simulación dinámica, considerando que las ecuaciones precedentes resultan de un proceso usual en el análisis de fenómenos físicos y químicos, adimensionando las variables que establecen relaciones entre las fuerzas impulsoras del cambio en el sistema en estudio, o sea de su dinámica. Este es el caso del atractor de Lorenz, con la curiosa forma similar a una mariposa, en sus palabras: “sucede que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales impactan grandemente en el fenómeno final. Un pequeño cambio al principio provoca enormes errores al final. La predicción se vuelve imposible”.

Teoría del Caos

Quizás sin saberlo hemos creado un modelo de simulación con una estructura y una forma de relación entre variables tal que, bajo determinadas condiciones, presenta una forma de comportamiento que se conoce como caos. Una definición del caos establece que es “un comportamiento aperiódico en un sistema determinista que muestra gran sensibilidad respecto a las condiciones iniciales”.

No es necesario que el modelo de simulación tenga un aspecto extremadamente complejo, con muchas variables, parámetros y retroalimentaciones. Los numerosos estudios realizados respecto al tema establecen que con tres ecuaciones diferenciales y una no-linealidad en alguna de ellas tenemos las condiciones necesarias para que el sistema presente bajo ciertas condiciones un comportamiento caótico.

La Teoría del Caos ha despertado considerable interés, ya que muestra la realidad interconectada que nos rodea y llena de bucles de retroalimentación, donde cada elemento integrante actúa para modificar el comportamiento del medio que lo rodea, pero no lo hace en forma independiente sino obedeciendo a un comportamiento integrado del conjunto. Por ende la Teoría de Caos es particularmente útil para abordar el estudio de los fenómenos sociales, siempre complejos y difíciles de resolver en términos de relaciones lineales causa-efecto. Como ejemplos, me parece interesante dejar mencionado algunos fenómenos físicos o de sistemas puramente matemáticos que facilitan la comprensión de los comportamientos caóticos antes de pasar a situaciones mucho más difíciles de modelar, como son los fenómenos sociales. Entre ellos, el péndulo forzado como fenómeno físico o una ecuación diferencial de tercer orden como modelo matemático.

Paralelo “C”

Integrantes: Susana Guasha, Lorena Aguilar, Andrés Carrera

                Algoritmo de Blum Blum Shub

Algoritmo

 #include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include “gmp.h” 

/****************************************************************************/

/* TEMA: Algoritmo Blum-Blum-Shub                                           */

/*                                                                          */

/* POR: Andres Carrera                                                      */

/*      Susana Guasha                                                       */

/*      Lorena Agilar                                                       */

/*                                                                          */

/****************************************************************************/

#define BITS_MODULO 1024

 void iniciarBBS(char *s);  int bitBBS(void);int byteBBS(void);  int main(int argc, char *argv[]){        int i, nBytes;        unsigned char s[256];        FILE *fo;                if (argc!=3) {         printf(”——————————————————\n”);

         printf(” Generador de números pseudoaleatorios Blum-Blum-Shub.\n\n”);

         printf(” Uso: %s <n> <s>\n”,argv[0]);

         printf(” n: numero de bytes requeridos.\n”);

         printf(” s: semilla.\n”);         printf(”——————————————————\n”);

         return 1;

        }

        /* Línea de comandos */

        nBytes=atoi(argv[1]);

        strncpy(s,argv[2],256);

        /* Convertir la cadena s en un entero */

        for (i=0; i<strlen(s); i++) s[i]=(s[i]%10)+’0′;       

        /* Inicializa generador y produce los bytes pedidos

         * guardándolos en bbs.out */

        iniciarBBS(s);

        fo = fopen(”bbs.out”, “wb”);         for (i=0; i<nBytes; i++) {                fprintf(fo, “%c”, byteBBS());        }        fclose(fo);

        puts(”Resultados en el fichero: bbs.out”);

        return 0;

}

mpz_t x;                        /* Último valor aleatorio */

mpz_t n;                        /* Módulo para BBS */

/*

 *  Inicia el generador de numeros aleatorios a partir de la cadena s

 *  que contiene un entero en base 10 que sirve como semilla.

 */void iniciarBBS(char *s){        mpz_t p, q, tmp;

        gmp_randstate_t estado;

        /* Inicializar rng de la librería gmp3 */

        gmp_randinit_default(estado);        mpz_set_str(tmp, s, 10);

        gmp_randseed(estado, tmp);

        /* Inicializar enteros */

        mpz_init(x); mpz_init(n); mpz_init(p); mpz_init(q);

        /* generar n como producto

         * de dos grandes primos congruentes con 3 modulo 4 */

        do {

                mpz_urandomb(p, estado, BITS_MODULO/2);

                mpz_mul_ui(p,p,4);

                mpz_add_ui(p,p,3);                } while (mpz_probab_prime_p(p,25)==0); 

        do {

                mpz_urandomb(q, estado, BITS_MODULO/2);

                mpz_mul_ui(q,q,4);

                mpz_add_ui(q,q,3);

        } while (mpz_probab_prime_p(q,25)==0);

        mpz_mul(n,p,q);

        /* Ahora se produce la primera x = s^2 (mod n)  */

        mpz_set_str(x,s,10);

        mpz_mod(x,x,n);

        mpz_mul(x,x,x);

        mpz_mod(x,x,n);

        /* Limpiamos variables innecesarias en lo sucesivo */

        mpz_clear(p); mpz_clear(q);        return;}   int bitBBS(void){        mpz_mul(x,x,x);                mpz_mod(x,x,n);                 /* x = x^2 mod n                        */                return mpz_tstbit(x, 0);}  int byteBBS(void){        int byte=0, i;         for (i=0; i<8; i++)                 byte = byte*2 + bitBBS();       

        return byte;

}

Descripción

Es un método para generar números que no tienen un comportamiento predecible. Por ende Blum Blum Shub (BBS) es un generador pseudoaleatorio de números propuesto por Lenore Blum, Manuel Blum y Michael Shub en 1986.

Al generar los números aleatorios, cuando se da un numero pequeño de bits es posible también generar secuencias largas de bits, los generadores mas utilizados contiene funciones, estructuras y fuertes encriptaciones como PRBG, RSA esta genera 5 módulos cuando se usan números exponenciales; todas ellas usan el algoritmo de BBS por su característica de congruencia y no lineal. Se construye a través de una ecuación recursiva.

X i+1 = ( X i 2 ) mod (m)      i= 0,1,2,3,…n 

M = pq es el producto de dos números primos muy grandes p y q.

En cada paso del algorimo, se obtiene un resultado para xn; el resultado es por lo general o bien el bit de paridad de xn ó uno ó más de los bits menos significativos de xn.

Los dos números primos, p y q, deben ser ambos congruentes a 3 (mod 4) (esto asegura que cada residuo cuadrático posee una raíz cuadrada que también es un residuo cuadrático) y mcd(φ(p-1), φ(q-1)) debe ser pequeña (esto hace que la longitud del ciclo sea extensa).

Una característica interesante del generador BBS generator es la posibilidad de calcular todo valor xi en forma directa:

Características

Es confiable y desde el punto de vista de su seguridad, lo que se relaciona con la calidad del generador en cuanto a la complejidad computacional de la factorización de enteros.

Funcionamiento

Cuando se eligen los primos en forma adecuada, y los bits menos significativos O(log log M) de cada xn se eligen como resultado, entonces en el límite cuando M se hace muy grande, distinguir los bits resultado de una secuencia aleatoria será por lo menos tan dificil como factorizar M.

Si la factorización de enteros es dificil (como es de esperar) entonces BBS con grandes M tendrán un resultado libre de todo patrón no aleatorio que puede ser descubierto mediante una cantidad razonable de cálculos. Esto hace que el método sea tan seguro como otras tecnologías de cifrado asociadas al problema de factorización, como por ejemplo la cifrado RSA.

Aplicaciones:

El generador BBS es apropiado para ser utilizado en criptografía mas que en simulaciones, porque no es muy rápido. Especialmente como políticas en la banca en línea, direccionamiento de saltos de los routers en la red

Ejercicio:X i+1 = ( X i 2 ) mod (m)      i= 0,1,2,3,…n   

Datos

p=11

q=19

s=3

Desarrollo:

Se obtener un ciclo largo para estos números pequeños, en cuanto mcd (φ ( p - 1),  φ ( q – 1 ) ) = 2.

El generador BBS evalua:

x0 utilizando x -1=s

Resultados

Crea la sucesión x0, x1, x2,… x5= 9, 81, 82, 36, 42, 92.

Utilizando l bit de paridad para definir el resultado, entonces los bits resultados son 0 1 1 0 1 0.