Àlgebra
De Computacion
El avance de la ciencia y la tecnología, está ligado a la evolución y desarrollo de la matemática. No existe parte de las matemáticas que no esté vinculada con otras ciencias. No pueden estar aislados dentro de un contenido específico los diferentes temas matemáticos, caracterizados por su unidad y coherencia. Siendo las matemáticas una ciencia formal de aplicación técnica, es necesario introducir una terminología que comprende elementos que en su mayoría nos son familiares. Cada uno de estos términos encierra una idea importante y requiere una definición. El Álgebra tiene un lenguaje estrictamente simbólico-literal, al relacionar números y letras en combinación armónica a través del conjunto básico de operaciones aritméticas. Esta generalidad instaurada al estudio de las cantidades reviste una suma importancia para el futuro profesional, ya que como una labor que se desarrolla dentro de un ambiente de importante dinámica, la comprensión, análisis, estudio e investigación del entorno y su multiplicidad fenomenológica, implican un conocimiento serio y profundo de las interconexiones matemáticas que incluyen, y que son una necesidad del conocimiento que debe existir en el estudioso de la computación. Es nuestra aspiración que esta asignatura contribuya exitosamente dentro del proceso del pensar matemático, mostrándole plenamente que su conocimiento y dominio son pieza clave dentro de la comprensión del mundo y la realidad. Esta Asignatura le introducirá en el campo de la matemática y pretende que usted adquiera los conocimientos y comprenda las razones fundamentales de los procesos matemáticos para su posterior aplicación en el Cálculo. La materia de Algebra está programada en el Primer Ciclo de la Carrera de Ingeniería en Informática y comprende el estudio de diez capítulos a saber: Conceptos fundamentales del algebra, Ecuaciones y desigualdades, Teoría de funciones y gráficas, Funciones polinomiales y racionales, Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones trigonométricas de números reales, Trigonometría analítica, Aplicaciones de la trigonometría, Matrices y determinantes, Sucesiones series y probabilidad. Para desarrollar este curso de Álgebra de la manera más provechosa es necesario que siga las siguientes referencias:
- Poner entusiasmo, voluntad y fe para emprender una actuación encaminada a conseguir el progreso y formación integral con mucho empeño y motivación.
- Cumplir con los requerimientos básicos de interacción dirigidos a lograr los objetivos y metas establecidas.
- Contribuir en la búsqueda e investigación de las formas de aplicación de los conocimientos en la solución de problemas relacionados con la práctica cotidiana.
- Preocuparse por adquirir una disciplina de trabajo ajustada al tiempo disponible, en un ambiente de organización y armonía, que lo conduzcan ha desarrollar las auto evaluaciones y ejercitación complementaria con el fin de que cuando tenga que asistir a las evaluaciones presénciales lo haga con seguridad, mucho provecho y solvencia que serán los mejores estímulos para su bienestar y provecho.
- Manejar dispositivos electrónicos elementales de cálculo.
- Interactuando con su Profesor a través del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA), herramienta que está a su disposición todo el tiempo
Objetivos Generales
- Identificar y manejar las leyes y los símbolos algebraicos con el objeto de aplicarlos en los diferentes tópicos que involucran el estudio de las matemáticas.
- Resolver ecuaciones, desigualdades y problemas que implican la aplicación de ecuaciones de primero, segundo y grados superiores.
- Comprender y aplicar el lenguaje de las funciones y desarrollar técnicas para caracterizarlas, determinar sus elementos, combinarlas a través de operaciones aritméticas y graficarlas.
- Manejar, operar y aplicar matrices y determinantes.
- Definir, aplicar y graficar las funciones trigonométricas fundamentales y establecer las relaciones de equivalencia básicas para efectos de sustitución y aplicación.
- Caracterizar la naturaleza y estructura de las progresiones, destacando su importancia dentro del estudio de las sucesiones y series.
- Proponer aplicaciones prácticas de los conocimientos adquiridos, dentro del campo de la Computación.
Objetivos Especificos
1. Identificar y manejar los símbolos algebraicos con el objeto de modificar y resolver ecuaciones algebraicas, desigualdades lineales y no lineales. 2. Resolver ecuaciones y problemas que implican ecuaciones de primer grado. 3. Comprender y explicar las características de las funciones cuadráticas; resolver ejercicios y problemas de aplicación. 5. Comprender y aplicar el lenguaje de las funciones y desarrollar técnicas para caracterizarlas, determinar sus elementos, combinarlas a través de operaciones aritméticas y graficarlas. 6. Definir, analizar y aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas. 7. Definir, aplicar y graficar las funciones trigonométricas fundamentales y establecer las relaciones de equivalencia básicas para efectos de sustitución y aplicación; y, graficar expresiones que contengan funciones trigonométricas de ángulos simples y compuestos. 8. Conocer y aplicar las Matrices y determinantes. 9. Utilizar correctamente el teorema del binomio en el desarrollo de potencias de la suma y diferencia de dos cantidades tanto con exponentes positivos como negativos. 10. Caracterizar la naturaleza y estructura de las progresiones, destacando su importancia dentro del estudio de las sucesiones y series. 11. Proponer aplicaciones prácticas de los conocimientos adquiridos, dentro del campo de la Computación.
Bibliografía
Texto Básico SWOKOWSKI, Earl W. y JEFFERY A. Cole , ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, Décima Edición, Editorial Thomson Learning, Inc. 2006. Texto escogido para la asignatura y cuya manipulación es cómoda, fácil y está en concordancia con el conjunto de contenidos previsto para el curso. Cada tema se desarrolla con un nivel conveniente de análisis, situación que le brindará ayuda especial. Además con el texto se incluye un CD interactivo que le servirá de mucho apoyo y sobretodo para sus autoevaluaciones. Textos complementarios Además del Texto Guía usted puede consultar las siguientes Obras, con la finalidad de enriquecer y reforzar los conocimientos que va adquiriendo. LARSON Ronald, HOSTETLER Roberto, Algebra Intermedia, Segunda Edición Mcgraw-Hill, Interamericana de México, S.A. de C.V, México, 2000. REES P., SPARKS F., REES CH.- Algebra, Décima Edición, Colección Mcgraw-Hill Interamericana de México, S.A., México, 1997. LARA J., ARROBA J., Análisis Matemático, Centro de Matemática de la Universidad Central del Ecuador, Quito 1987. Otros textos de Álgebra básica Trigonometría, etc. de los que disponga en su biblioteca particular u otros textos de análisis matemático, pues en ellos existe amplia información, especialmente de Teoría de Funciones. Direcciones de internet. http:/www.mathematics.bookscole.com http:/www.univie.ac.at/future.media/moe/
Desarrollo del Aprendizaje
Capitulo1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA
Este capítulo pretende que usted despeje las dificultades que encuentre en el estudio del Álgebra. Las dificultades se presentan por una falta de comprensión de los principios fundamentales en los que se apoyan las reglas del cálculo algebraico y de la práctica ordenada y sistemática de dichos principios. Todas las operaciones del cálculo algebraico por complicadas que sean, no son más que el resultado de una aplicación combinada de las leyes formales de las operaciones fundamentales de la aritmética. Es también importante indicar que, a más del conocimiento de las leyes formales del cálculo algebraico y de la habilidad para manejarlos, es necesaria una práctica abundante ordenada y sistemática que le proporcione agilidad, destreza y seguridad en los procesos.
SISTEMA DE NÚMEROS REALES.
Es muy importante su conocimiento, pues son los elementos con los cuales se trabajará en adelante. En el álgebra de los números reales se encuentran las razones fundamentales de las transformaciones algebraicas, ya sea con expresiones racionales o irracionales. Es importante el conocimiento del conjunto de los números reales y sus subconjuntos, así como las propiedades que los rigen. Lea los contenidos expuestos en el libro guía correspondiente a este subcapítulo, los mismos que están comprendidos de la página 2 a la página 8. A continuación definiremos los subconjuntos de este importante conjunto universo.
- Naturales.
- Se designan por N (N = {0, 1, 2, 3, 4, .....} y constituye aquel conjunto de números que sirven para contar, habiendo sido este su origen específico. Estos números han servido de base para la estructuración de los demás.
- Enteros.
- Es aquel conjunto de números cuya raíz está en los números naturales, mismos que al no evidenciar la ley de cerradura en la resta, imprimieron la necesidad de crear un conjunto complementario de números constituido por los negativos de valor absoluto natural, los cuales unidos forman un solo al cual se le conoce como el conjunto de números enteros. A este conjunto se lo designa por Z y es igual a Z = { .... −3, −2, −1, ,0, 1, 2, 3, 4,......}.
- Racionales.
- Este conjunto surgió como consecuencia de la no clausuratividad de los enteros por la división (por ejemplo 1/2) que tiene un resultado no entero, de donde apareció el conjunto de números que comprende este caso fundamental al que se denominó números racionales, designándolo con la letra Q, y simbólicamente se define: Q = {a/b: a∈Z, b∈Z y b ≠ 0}. Dentro de este conjunto están los decimales simples y decimales periódicos. Son ejemplo de números racionales: ½, ¾, −4, 0, 1.3333, 0.25.
- Números irracionales.
- Se representan simbólicamente por Q’, es porque constituyen el complemento de los números racionales y que incluyen, justamente aquellos decimales o números que no pueden expresarse, de ninguna manera como una fracción o un número racional, como por ejemplo: la raíz cuadrada de los números primos, el valor de Pi (π), etc. Este tipo de números se conocen como números inconmensurables dado de que de ellos solamente se puede dar una aproximación, pero no el valor que efectivamente ellos representan.
- Números reales.
- Este sistema numérico constituye una base especial para el análisis e interpretación de multiplicidad de hechos, fenómenos y actividades prácticas, la ciencia o la tecnología. Este conjunto esta constituido por la unión de los números racionales (que comprenden los números naturales, los números enteros, los números fraccionarios) y los irracionales, es decir R = Q ∪ Q´. (Para su mejor comprensión analice detenidamente el diagrama de flujo presentado en la página 3 de su libro guía.)
RECTA DE NÚMEROS REALES
Podemos representar geométricamente al conjunto de los números reales asociándolos con los puntos de una línea recta, para dar lugar a la llamada recta numérica real, la cual nos permite visualizar propiedades muy importantes de este conjunto. Analice los contenidos de la página 9 de su libro.
- Existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta.
- A la derecha del origen (0) se encuentran los números reales positivos y a la izquierda los números reales negativos.
- Cualquier número real es menor que los que están a su derecha y mayor que los que están a su izquierda.
- Los números reales sobre la recta se encuentran ordenados de izquierda a derecha de menor a mayor.
Revise los contenidos de las páginas 8 a la 11.
- Valor absoluto.- El valor absoluto de un número, representado por el símbolo x representa la distancia no dirigida de cualquier punto de la recta numérica hasta el 0 u origen de la misma. Una distancia siempre es positiva por lo que el valor absoluto de cualquier número siempre será positivo. En las páginas 12, 13 y 14 del texto encontrará la definición, propiedades y ejemplos del valor absoluto.
- Notación científica.- La notación científica es una forma muy conveniente de escribir números sumamente grandes o sumamente pequeños, y al mismo tiempo permite comparar fácilmente estas grandes o pequeñas magnitudes. Constituye una aplicación de las leyes de los exponentes (las cuales se ampliarán mas adelante). En las páginas 14 y 15 encontrará una amplia explicación acompañada con ejemplos; así como la forma de resolución con calculadora. Revíselos detenidamente y fíjese como el autor los resuelve.
Es necesario recordarle que para que un número este expresado en notación científica debe tener la forma 
donde a debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10, n es un número entero. Ejemplo: Si queremos expresar el número 0,0000567 en notación científica tendría que estar de esta forma: 
si se lo escribe de las siguientes formas estaría mal escrito:
<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2 } </math>
<math>a x 10^n</math>
EXPONENTES Y RADICALES.
Lea los contenidos de las páginas 19 a la 29.
- Exponentes enteros.-
La potenciación como sabemos resulta del producto de factores repetidos, así tenemos por ejemplo que 5.5.5.5. Se escribe simplemente 
, en este caso 5 es la base y 4 es el exponente. Quizá lo más importante de esta operación son las leyes, puesto que ellas nos van a permitir manejar los exponentes y utilizarlos en la transformación de expresiones que contienen potencias. En la página 20 encontrará las leyes, acompañadas de una serie de ejercicios explicativos y en la 22 un teorema sobre exponentes negativos. Ponga mucha atención a este teorema.
- En la operación de potenciación, conocida la base y el exponente debemos encontrar el valor de la potencia, pero existe una operación en la que nos dan la potencia y el exponente y debemos encontrar la base, esta operación se la conoce con el nombre de radicación así:
En general si M y a son números reales y n es un número entero positivo mayor que 1, entonces a es la raíz n-esima de M sí y solo sí: 
- Al igual que la potenciación las leyes de los radicales son muy importantes y como una raíz no es más que una potencia con exponente fraccionario, es lógico deducir que los radicales obedecen a las mismas leyes de los exponentes pero con distinta simbología. Es muy necesario analizar los radicales con índice par y radicando negativo; por definición la raíz cuadrada de un número negativo es un número que elevado al cuadrado de como resultado el número negativo, pero sabemos que todo número real elevado al cuadrado da como resultado un número positivo o cero pero en ningún caso un número negativo; por lo tanto podemos concluir que, por ejemplo que √-25 imagen representa un número real. De acuerdo con este análisis debemos tener presente que las raíces de índice par y radicando negativo no están definidas dentro del conjunto de los números reales.
- Una aplicación muy importante que se realiza con los radiales es la racionalización, que es una operación que tiene por objeto eliminar los radicales del numerador o del denominador; para ello es necesario entender claramente lo que significa la conjugada del numerador o del denominador. (Fíjese detenidamente en el ejemplo 4 de las página 26).
- Exponentes racionales.- Con frecuencia es más fácil trabajar con exponentes racionales que con radicales. Toda potencia de exponente fraccionario equivale a una raíz en la que el denominador del exponente es el índice de la raíz y el numerador del exponente es el exponente del radicando. Analice la definición explicada en el recuadro de la página 27 y el ejemplo 5 de la página 28.
- En la mayor parte de los problemas es más fácil sacar primero la n-ésima raíz y después elevar la n-ésima potencia y no al revés.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Lea los contenidos de las páginas 31 a la 43.
- Polinomios.- Un polinomio es una expresión algebraica que se forma a partir de variables y constantes únicamente con las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Ejemplo:
En cada término de un polinomio, el exponente de la variable debe ser un entero no negativo. Los cálculos con polinomios se basan en las propiedades de los números reales, por que las variables representan números reales. En el numeral 1.3 de las páginas 31 a la 40 encontrará la definición, clasificación y el álgebra de los polinomios; así como polinomios con varias variables. Analice los ejemplos resueltos para su mayor comprensión.
- Con los polinomios se pueden realizar las operaciones fundamentales del álgebra tales como la adición, sustracción y multiplicación de polinomios, para ello se aplican las propiedades de los números reales ya que cada símbolo de un polinomio representa un número real.
- Productos notables.- Existen algunos productos que se presentan con bastante frecuencia en los cálculos algebraicos, por esta razón se han deducido algunas reglas para obtener directamente su resultado sin necesidad de realizar la operación con los procedimientos indicados. Estas reglas están claramente indicadas en un recuadro de la página 36 de su libro guía. Analice los ejemplos resueltos.
- Factorización.- Factorar un polinomio es transformarlo en un producto de dos o más polinomios de grado inferior al polinomio dado. La instrucción factorar o factorizar, simplemente significa que debemos determinar la forma totalmente factorizada de la expresión dada. Cuando un polinomio no puede ser descompuesto en factores, decimos que es “primo”. Así por ejemplo, son polinomios primos:
- Existen varios casos y métodos de factorización, en las páginas 38 a 43 tiene 10 ejemplos explicados de todos los casos; analícelos y saque conclusiones.
EXPRESIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES
Lea los contenidos de las páginas 45 a la 53. Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. Las expresiones racionales son las extensiones algebraicas de los números racionales y, por lo tanto, las reglas fundamentales del manejo de estos números abarcan las expresiones racionales. En este subcapítulo encontrará descritas reglas importantes del manejo de expresiones racionales, que también se llaman fracciones algebraicas, acompañadas de ejemplos para que usted pueda comparar los procedimientos que se siguen. Ponga atención en los ejercicios resueltos y explicados de las páginas 47 a la 53. A menudo se confunde una expresión algebraica con una ecuación algebraica y a veces se la trata como tal.
Capitulo2: ECUACIONES Y DESIGUALDADES
ECUACIONES
Por mucho tiempo el estudio del álgebra estuvo estrechamente ligado con el estudio de las ecuaciones, es innegable que su importancia sigue vigente, por cuanto muchas de las aplicaciones de la matemática requieren del planteamiento y resolución de diversos tipos de ecuaciones.
Este capítulo hace un tratamiento de cada uno de los temas, justificando los principios que permiten la transformación de una ecuación en otra equivalente; en términos generales resolver una ecuación o una inecuación no es más que la transformación gradual de las mismas en otras equivalentes hasta que la solución sea evidente (equivale también a decir que resolver una ecuación o una inecuación es encontrar el valor de la variable que hace cumplir la igualdad)
Lea los contenidos de las páginas 60 a 68.
Para resolver ecuaciones se aplican las propiedades de las igualdades. La importancia de estas propiedades reside en que producen ecuaciones equivalentes, ecuaciones que tienen las mismas raíces. Así, la propiedad de la suma convierte a la ecuación 2x−3=7 en la forma equivalente 2x=10. Ya que es posible cometer errores aritméticos o algebraicos cuando se soluciona una ecuación, siempre es buena práctica verificar cada solución, sustituyéndola en la ecuación original.
Es necesario señalar que existen ecuaciones que no tienen solución o tiene soluciones extrañas. Generalmente puede ocurrir cuando se multiplica ambos lados de la ecuación por una expresión que puede ser 0 para algunos valores de la variable.
Existen diferentes tipos de ecuaciones tales como las ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales, etc.
Una ecuación lineal posee una variable elevada a la primera potencia, responde a la forma ax+b=0; a≠0 donde a y b son números reales. Este tipo de ecuaciones poseen solamente una solución 
imagen, siendo por lo tanto las más sencillas de resolver.
En la página 64 usted encontrará en recuadro una guía para resolver una ecuación que contenga expresiones racionales, léalas y aplíquelas.
PROBLEMAS APLICADOS
El álgebra es muy útil para solucionar muchos problemas prácticos que incluyen razón de cambio, velocidades, mezclas, dinero, etc. Puesto que estos problemas se expresan con palabras. El reto de estos problemas con palabras consiste en traducir las palabras en una ecuación algebraica apropiada. Ya que no existe un procedimiento único para hacer esta traducción, se requiere trabajo, práctica y paciencia para volverse un experto en la solución de estos problemas.
| Lea y aplique detenidamente la guía para resolver estos problemas la misma que esta expuesta en la página 69 de su libro guía, además fíjese bien en la solución de problemas tipo presentados por el autor. |
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Lea los contenidos de las páginas 80 a 90.
Una ecuación cuadrática posee una variable a la segunda potencia, su forma general es: 
Esta ecuación tiene a lo sumo dos raíces (soluciones).
Existen varios métodos de resolución para una ecuación cuadrática o de segundo grado, los principales métodos que se aplican son: Factorización, método que consiste en transformar a la ecuación cuadrática en dos factores, para luego igualar a 0 cada factor y obtener así las soluciones.
Cuando se soluciona una ecuación cuadrática por factorización, se debe igualar la expresión cuadrática a 0. No tiene ningún sentido factorizar por ejemplo 
como x(4x+5)=6 Puesto que el miembro derecho es 6 (no 0), no podemos igualar cada factor a 6. (Estudie detenidamente el Teorema del factor 0 incluido en la página 81.)
Cuando una ecuación no puede factorizarse fácilmente, se puede aplicar el método de completación del cuadrado, método que consiste en agregar la mitad del coeficiente del término en x (b) elevado al cuadrado, a los dos miembros de la ecuación, obteniéndose así un trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro, que luego se soluciona aplicando el método de la raíz cuadrada; fijémonos en el siguiente ejercicio.
Resolver la ecuación 
Solución:
(Se ha dejado un espacio para completar el cuadrado y se ha pasado el 2° al segundo miembro).
(Se ha completado el trinomio agregando 22 a los dos miembros para no alterar la ecuación, note que 22 es la mitad de 4 elevado al cuadrado).
(Se reescribe la expresión en función del trinomio).
imagen (Se extrae la raíz cuadrada a los dos miembros de la ecuación)
imagen (Operaciones).
imagen Se ha encontrado el valor de u que era la incógnita, por lo tanto se ha solucionado la ecuación).
Una variación que puede tener la ecuación es de que el coeficiente del término en 
no sea 1, en tal caso se deberá primeramente dividir todos los términos de la ecuación para el coeficiente de antes de aplicar el método descrito.
El método más fácil y más sencillo es el de aplicar la fórmula cuadrática:
En la solución de la ecuación.
El número de soluciones de la ecuación estará en función del discriminante 
pues si el discriminante es mayor que 0, entonces tendrá dos soluciones; si el discriminante es igual a 0, tendrá una solución y, si el discriminante es menor a 0, no tendrá ninguna solución en el conjunto de los reales. Revise el recuadro de la página 85.
NÚMEROS COMPLEJOS
Lea los contenidos de las páginas 95 a 102.
Algunas ecuaciones cuadráticas no tienen solución real. Por ejemplo la ecuación 
no tiene raíces reales porque no hay número real x tal que 
En esta sección se estudia el conjunto de números complejos que contiene soluciones a ecuaciones tal como la anterior. Es muy importante que analice las propiedades de i y las operaciones con números complejos expuestas en las páginas 95 a la 100, así como los ejercicios resueltos.
Los números complejos son susceptibles de representación gráfica en un sistema de coordenadas rectangulares. En el capítulo 8 de su texto guía “Aplicaciones trigonométricas “, encontramos una ampliación de los números complejos, esto es; Forma trigonométrica de los números complejos, así como el Teorema de Moivre y raíces n-ésimas de números complejos. Por el momento no vamos a tratar este curso lo dejamos para cursos posteriores.
OTROS TIPOS DE ECUACIONES
Lea y analice los contenidos y ejemplos de las páginas 10 a 109. Muchas de las veces se presentan ecuaciones que no tienen la forma de una ecuación lineal ni cuadrática; estas pueden tener potencias mayores que 2, pueden contener valor absoluto o pueden tener radicales. Si la ecuación contiene radicales, se puede eliminar los mismos elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación, teniendo en cuanta que al elevar al cuadrado se pueden introducir soluciones extrañas, sugiriéndose en este caso verificar las soluciones de la ecuación, en la ecuación original. Veamos el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 
(Transposición de términos)
(Elevamos al cuadrado para eliminar radicales)
(Operaciones)
imagen (Reducción de términos)
(Simplificamos la mitad de todos los términos)
imagen (Nuevamente elevamos al cuadrado para eliminar la raíz)
(Resultado de las operaciones)
(Reducción de términos)
(Solucionamos la ecuación por la fórmula general)
Una vez obtenidas la soluciones y de comprobarlas, concluimos que solamente la raíz x=10 cumple con la solución, desechándose por lo tanto la raíz 
raíz que se introdujo al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar la raíz.
Este método puede aplicarse a todas las ecuaciones de este tipo. En las páginas 103 a 107 encontrará 9 ejercicios resueltos y explicados para su mejor comprensión.
Otro tipo de ecuaciones que se pueden presentar son las ecuaciones que contienen valor absoluto. Estas ecuaciones se solucionan aplicando la definición y las propiedades de los valores absolutos (revise las propiedades en el recuadro de la página 12); para un mejor entendimiento vamos a ilustrarnos con el siguiente ejemplo:
Resolver: 
(Definición de valor absoluto)
Resolviendo las ecuaciones resultantes por los métodos citados anteriormente se obtiene los siguientes resultados: 
(la primera ecuación resultante no tiene solución en el conjunto de los reales)
Existen ecuaciones que pueden reducirse a una ecuación de tipo cuadrática, por medio de una adecuada sustitución. Veamos el siguiente ejemplo:
Resolver: 
Se sustituye a 
y reemplazar así:
(Observe que tiene la forma de una ecuación cuadrática)
Se resuelve la ecuación resultante por los métodos estudiados anteriormente, obteniéndose los siguientes resultados: 
La solución no termina aquí puesto que hemos utilizado un artificio para la solución y solamente hemos hallado los valores de u (nuestra ecuación contiene la variable x. Ahora reemplazamos nuevamente con los resultados obtenidos así:
(Sustitución)
(Aplicamos leyes de exponentes)
(Aplicamos propiedad de los números reales)
(Operaciones y solución de la ecuación)
| Existen ecuaciones de diversos tipos; nuevamente, los ejemplos de las páginas 104 a la 107 le servirán de mucha ayuda. |
DESIGUALDADES (INECUACIONES)
Lea los contenidos de las páginas 112 a 127. Los enunciados que incluyen relaciones de orden tales como 9x−3〈−6 se llaman inecuaciones. Resolver una desigualdad (llamada también inecuación) es encontrar el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad; como en las ecuaciones, la metodología de resolución consiste en aislar a la variable de un lado de la desigualdad y las constantes del otro. A diferencia de una ecuación, una inecuación no solamente tiene un número limitado de soluciones sino que puede tener un infinito número de soluciones. El conjunto solución de una desigualdad generalmente se lo expresa en forma gráfica (sobre una recta numérica) o en notación de intervalos (conjunto de valores numéricos con simbología adecuada). Las páginas 113 y 114 nos muestran los posibles casos de notaciones de intervalos así como sus desigualdades, sus gráficos y las propiedades de las desigualdades. Existen así mismo diferentes tipos de desigualdades, tales como: desigualdades lineales, desigualdades cuadráticas, desigualdades con valor absoluto, desigualdades de orden superior y desigualdades racionales. Las desigualdades más sencillas son las desigualdades lineales, que tiene la forma ax+b〈0; a≠0 Este tipo de desigualdad se resuelve aplicando las leyes de las desigualdades (observe el recuadro de la página 114) estas leyes son similares a las leyes de las igualdades, con la única diferencia de que al multiplicar los miembros de una desigualdad por una cantidad negativa la desigualdad cambia de sentido, es decir que si es mayor que, cambia a menor que y viceversa. Veamos el siguiente ejemplo: Resolver la desigualdad 3−9x〈−6 y expresar la solución en notación de intervalos.
| 3−9x−3〈−6−3 | (Sumamos −3 a los dos miembros para eliminar el 3 del primer miembro; note que la inecuación es equivalente; en la práctica este paso se lo hace directamente es decir el 3 del primer miembro pasa como menos 3 al segundo) |
| −9x〈−9 | (Operaciones) |
| (−1)−9x?−9(−1) | (Multiplicamos los dos miembros por (−1) para hacer x positiva, hemos puesto un signo de interrogación por el signo de la desigualdad) |
| 9x〉9 | (Escribimos la inecuación con el nuevo sentido de la desigualdad que cambió de menor que a mayor que) |
| x〉1 | (La inecuación resultante es la más reducida posible y es la solución evidentemente) |
La solución ahora la vamos a escribir en notación de intervalos; para ello debemos interpretar el resultado de la siguiente manera: x〉1 significa que los valores que debe tomar xpara que la desigualdad se cumpla, deben ser todos los valores de x que se encuentren a la izquierda de 1 en la recta numérica, hasta el infinito positivo. El siguiente gráfico nos ayudará:
La notación ]1, +α) es un intervalo abierto, lo que quiere decir que el extremo 1 no es parte de la solución.
Luego de resolver una desigualdad es muy importante su comprobación. Esto se hace, escogiendo uno o dos valores del conjunto solución y reemplazándolo en la desigualdad original; si la solución es correcta la desigualdad se cumple, caso contrario hay un error que puede estar en la resolución o en su comprobación.
Una inecuación es simultánea si tiene la forma a〈x〈b que quiere decir que la variable x debe cumplir las dos condiciones simultáneamente. La lectura de este tipo de inecuación se la hace desde el centro de la misma de esta forma: “ x es mayor que a y menor que b”.
La solución de este tipo de desigualdad se la puede hacer de dos maneras diferentes; la primera separando las desigualdades y resolviéndolas una por una o se la resuelve también simultáneamente; el siguiente ejemplo clarificará el procedimiento.
Ejemplo: Resuelva la desigualdad 100−x〈6x−4〈121−x; (Se lee desde el centro a los costados: “Seis x menos cuatro es menor que 〈121−x y mayor que 100−x). Exprese la solución en notación de intervalos.
Solución: (primero separamos las desigualdades y las solucionamos individualmente)
Finalmente se escribe la solución simultánea así: 
se recomienda siempre escribir la inecuación resultante en el sentido de ubicación que tienen los números reales en la recta numérica, para conservar un orden.
El segundo método es la resolución simultánea, ilustrada de la manera siguiente:
100−x〈6x−4〈121−x
100+4〈6x+x〈121+4 (Se ha pasado el −4 a los dos miembros y x también)
100 < 7x < 125 (Operaciones)
104/7 < 125<7 (Solucion)
Gráficamente ilustramos la solución así:
Observe que la solución constituye el segmento intersección de las dos semirrectas.
Muchas aplicaciones importantes de inecuaciones, incluyen también valores absolutos. Es necesario que recuerde el concepto y las propiedades del valor absoluto, pues son necesarios para resolver este tipo de inecuaciones y funciones que incluyen este concepto; así mismo en necesario recordar y entender las propiedades del valor absoluto con desigualdades; en la página 118 de su libro encontrará un recuadro que muestra estas propiedades. Ejemplo: |x−2|〈3 significa que x está a menos 3 unidades de 2, por tanto −1 < x > 5. Es necesario que analice detenidamente los ejemplos expuestos en este subcapítulo, páginas 118 y 119.
En las páginas 121 a la 127 se estudia a las inecuaciones cuadráticas y racionales.
Para resolver desigualdades donde intervengan polinomios de grado mayor a 1, se aplican las propiedades de los números reales, descritos en las páginas iniciales y, utilizando un diagrama de signos la solución se facilita. A continuación incluimos un ejercicio en el que se explica su resolución.
Como en la inecuación, uno de sus miembros es cero (requisito indispensable para su resolución) igualamos a 0 cada uno de los factores obteniéndose los valores de x; de la siguiente manera:
Los valores obtenidos de x servirán para marcar en la recta numérica intervalos; estos valores también se denominan puntos críticos. Los intervalos originados se ilustran a continuación:
A continuación se elabora una tabla de signos con las siguientes características:
La primera fila corresponde a los intervalos originados por los puntos críticos en la recta numérica.
La segunda fila corresponde a K, un valor de prueba escogido en el intervalo (puede ser cualquiera, siempre y cuando esté en el intervalo)
La tercera fila corresponde al signo de la expresión factorizada (es mejor trabajar en esta expresión que está factorizada, por la facilidad para analizar el signo del resultado), encontrado luego de reemplazar el valor de prueba por x.
Luego de obtenidos los signos se hace el análisis de la solución observando que la desigualdad 
se cumplirá solamente cuando el primer miembro tenga signo positivo, quiere decir ≥ que 0. Por lo tanto los intervalos que originaron signo positivo son la solución de la desigualdad. Seguidamente se escribe la solución utilizando nomenclatura de unión de conjuntos, puesto que un intervalo es un conjunto numérico.
Solución: (−α,−5]U[-3,-1]∪[1,α)
Un aspecto importante que hay que resaltar es que todos los intervalos son cerrados, esto se deduce considerando que la igualdad tiene doble signo es decir ≥.
Este procedimiento se aplicará en todas las desigualdades de este tipo; es decir desigualdades polinómicas.
Las desigualdades racionales, son aquellas desigualdades en las que existe una variable en el denominador o podemos decir también que están constituidas por el cociente de dos polinomios por ejemplo: 
Para resolver este tipo de desigualdades se sigue un procedimiento idéntico al descrito anteriormente para una desigualdad polinómica, con la diferencia de que hay que excluir del conjunto solución todos los valores que produzcan ceros en el denominador, lo que produciría una indeterminación: también se elabora un diagrama de signos para el análisis de la solución. Veamos el siguiente ejemplo:
Resolver la desigualdad: 
Primeramente hacemos que uno de los miembros sea 0 así:
Seguidamente encontramos los puntos críticos, igualando a cero el numerador y también obtenemos el valor de x que produce ceros en el denominador:
Los intervalos originados se ilustran a continuación:
Tabla de signos:
Solución: todos los intervalos que produzcan signo negativo (La desigualdad es ≤ 0) es decir;
(−∝,−3] ∪ ]1,3]
Hay que tomar en cuenta que el valor 1 produce indeterminación, por lo tanto tenemos que abrir los intervalos que contengan el extremo 1 (al abrir el intervalo excluimos el valor del extremo de la solución.) así:
(−∝,−3] ∪ ]1,3] que es la solución.
Más ejercicios explicados encontrarán en las páginas 121 a la 127.
Capitulo3: FUNCIONES Y GRAFICAS
Este capítulo constituye el más importante de todos los demás, pues su aplicación es casi general y específicamente en el cálculo.
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES.
Lea y analice los contenidos de las páginas 134 a 140.
En las primeras secciones de este capítulo se consideran los sistemas coordenados en dos dimensiones, este sistema es muy conocido puesto que se lo ha empleado desde los últimos años de secundaria, siendo necesario recalcar que el sistema de coordenadas rectangulares se origina del producto cartesiano R x R.
Un punto cualesquiera quedará representado en este plano por medio de sus coordenadas, que no son más que las distancias que existen entre el punto considerado y los ejes coordenados. Puesto que el sistema se considera formado por la intersección de dos rectas numéricas; la una vertical y la otra horizontal, el punto de intersección se considera como el origen de este sistema. Se han originado cuatro semirrectas, considerado de esta manera cuatro direcciones que marcarán mas tarde los signos correspondientes y los cuadrantes respectivos.
De manera general cada par ordenado de números reales constituye una relación y la ubicación de estas parejas ordenadas en el plano, constituye el gráfico de la relación.
Una relación también puede estar dada por una ecuación algebraica o por una fórmula que las relacione por ejemplo: 
Con el estudio del sistema de coordenadas rectangulares, podemos deducir fácilmente la fórmula de la distancia entre dos puntos, así como la fórmula del punto medio.
Formula de la distancia
Una de las fórmulas básicas de la Geometría analítica es la fórmula de la distancia entre dos puntos que tiene la siguiente forma:
Es decir; la distancia entre dos puntos está dada por la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de la diferencia de abscisas y diferencias de ordenadas de los puntos considerados, sin importar el orden de escogitamiento para X y para Y.
Ejemplo: Halle la distancia entre los puntos A (−5,3) y B (4,1)
Que es la distancia entre los puntos A y B. Existen múltiple aplicaciones de esta fórmula.
GRAFICAS DE ECUACIONES
Este subcapítulo es de mucha importancia y es necesario que ponga mucha atención. Lea y analice los contenidos de las páginas 143 a 149.
Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla, así por ejemplo si la relación esta dada por la fórmula 
algunos de los pares ordenados que cumplen con la relación son (0,0), (2,2), (1, 1/2), (−2,2) etc. Si representamos estos pares ordenados en el sistema tendríamos bosquejada la gráfica de la ecuación.
El grado de exactitud de una gráfica está en función directa del número de puntos escogidos para graficar, ¿pero cuantos puntos deberán escogerse? Esto dependerá del tipo de ecuación así como de la práctica que se tenga.
Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades que las vamos a describir a continuación.
Intersectos o intersecciones.- Encontrar los puntos por donde la gráfica de la ecuación corta los ejes coordenados resulta de mucha utilidad para trazar su gráfica.
Estos valores se encuentran asignando el valor de 0 a y luego encontrando el valor de y para encontrar el intersecto con el eje y. Para encontrar el intersecto con el eje se asignará el valor de 0 a , encontrándose luego el valor de . Se clarifica mejor con el siguiente ejemplo:
Halle las intersecciones con los ejes de la siguiente ecuación: 
- Intersecto con el eje x; hacemos = 0; obteniéndose
- Lo que quiere decir que la gráfica atraviesa el eje en el punto (10, 0)
- Intersecto con el eje y; hacemos = 0; obteniéndose
→ 
- Lo que quiere decir que la gráfica atraviesa el eje en los puntos
Para su mejor comprensión e ilustración fíjese en el recuadro de la página 143.
En muchos de los casos esto requerirá la solución de una ecuación, lo que hasta este momento debe usted dominar.
La gráfica de una ecuación también puede ser simétrica, esto quiere decir que la porción de la gráfica en un cuadrante es imagen (como reflejada en un espejo) de la gráfica en otro cuadrante. Para saber si el gráfico de una ecuación es simétrico se aplica tres pruebas, si se remite a la página 148 de su libro, encontrará en un cuadro estas propiedades. Para una mejor explicación haremos el siguiente ejercicio:
Determine si la gráfica de la ecuación 
es simétrica.
Para saber si la gráfica es simétrica con respecto al eje reemplazamos por − en la ecuación así:
<p>
; como se observa, la ecuación resultante es la misma que la ecuación planteada; como conclusión se dice que la gráfica es simétrica con respecto al eje x.
Para saber si la gráfica es simétrica con respecto al eje reemplazamos por − en la ecuación así:
El resultado es: 
como se puede observar la ecuación resultante no es equivalente a la ecuación original; como conclusión, la gráfica no es simétrica con respecto al eje y.
Para saber si la gráfica es simétrica con respecto al origen reemplazamos por −x y por −y simultáneamente en la ecuación así:
El resultado es: 
; la ecuación resultante no es equivalente tampoco a la ecuación original, determinándose que la gráfica de la ecuación no es simétrica con respecto al origen.
El bosquejo de la gráfica es:
Nótese la simetría con respecto al eje . En esta sección también se incluye un breve estudio de la recta y de la circunferencia; puesto que el Pénsun de la Carrera de no contempla el estudio de la Geometría analítica, aprovecharemos este espacio para recalcar las partes más importantes que usted debe conocer. Circunferencias Lea los contenidos de las páginas 150 a 156 Una circunferencia se define como un conjunto de puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro siempre es constante. La distancia constante se llama radio. Se aplica la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación del conjunto antes mencionado. La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:
Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma:
Al estudiar la circunferencia pueden presentarse dos tipos de ejercicios; dados los elementos de la circunferencia es decir el centro y el radio encontrar su ecuación y, dada la ecuación de la circunferencia, encontrar sus elementos. En el primer caso solamente tendríamos que reemplazar los datos en cualquiera de las dos ecuaciones anotadas anteriormente, y para el segundo caso tendríamos que a partir de la ecuación modificarla para encontrar sus elementos. Veamos el siguiente ejercicio: Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:
Solución: Primeramente acondicionamos la ecuación para completar dos trinomios cuadrados perfectos en y de la siguiente manera.
(Dividimos para 5 para tener 'x y 'y
(Completamos los trinomios agregando la mitad de 5 y 2 elevados al cuadrado y efectuamos operaciones =.
Escrita de esta forma, se nota claramente que el centro de la circunferencia está en el punto 
y el radio es igual a: 
En las páginas 150 a 156 de su texto encontrará algunos ejemplos para que usted pueda analizarlos.
RECTAS
Lea los contenidos de las páginas 159 a 169 Como se había mencionado anteriormente, se incluye en este capítulo un breve estudio sobre la recta, tema reservado a la Geometría Analítica. En esta parte es necesario conocer claramente las formas de las ecuaciones de la recta, el concepto de pendiente, rectas paralelas, rectas perpendiculares, para sus aplicaciones posteriores. Por tratarse de un tema no muy complicado, solamente le sugiero que analice detenidamente la parte teórica, analice también los ejemplos que se incluyen, y; realice algunos ejercicios de autoevaluación para que refuerce el conocimiento.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Preste mucha atención a este subcapítulo pues en el aprenderá a definir funciones.
- Lea detenidamente los contenidos de las páginas 178 a 188.
Las relaciones especiales llamadas funciones representan uno de los conceptos más importantes de todas las matemáticas. Es por esta razón que le sugiero que le preste la mayor atención a esta parte del capítulo.
Una relación es una regla que produce una correspondencia entre un primer conjunto de elementos llamado dominio y un segundo conjunto de elementos llamado rango; tal que, a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos del rango.
Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. El gráfico siguiente le ayudará a entender el concepto de mejor manera.
Simbolizaremos a una función con una f
Note que de cada elemento del conjunto dominio solamente parte una flecha, pero a un elemento del conjunto rango puede llegar más de una flecha; si esta relación se mantiene la relación será una función.
Una relación o función se puede determinar de diferentes maneras a saber: mediante una ecuación, una tabla, un conjunto de parejas ordenados de elementos, una gráfica, etc., lo importante es que se da un conjunto de elementos llamado dominio y una regla (método o proceso) para obtener el correspondiente valor del rango, para cada valor del dominio.
Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento de x de D un único elemento de de E. Al elemento de E se llama valor en y se denota por f(x) (que se lee “f de x”). (También recibe el nombre de imagen de bajo ƒ). El conjunto D se denomina DOMINIO de la función. El CONTRADOMINIO, RANGO o CODOMINIO de f consiste en todos los valores posibles de f(x), en donde x está en D. Es importante recordar que a cada x en D se le asocia un único valor y en E; sin embargo, elementos diferentes de D, pueden tener el mismo valor en E.
- Los símbolos:
Significan que f es una función de D a E. Debe recordar que se usa para representar la función, no está en D ni en E, sin embargo, es un elemento de E, el que asigna a. En general la notación de una función es: y = f(x)
Se debe resaltar que en una función existen dos tipos de variables, la variable que puede tomar diferentes valores (en este caso se denomina variable independiente y la variable que depende de los valores tomados por x, que se denomina variable dependiente (en este caso y).
A menudo una función se define por una fórmula explícita, por ejemplo 
Dominio y rango.- Son los conceptos más importante en el tratamiento de una función, es muy necesario que estos dos conceptos estén muy bien entendidos.
El dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real.
Analicemos los siguientes ejemplos:
Dada la función f(x) = 2x+1 si analizamos la función, podemos observar que si damos cualquier valor a x(positivo, negativo o 0), siempre f(x) nos arrojará un número real; por lo que podemos concluir que el dominio de la función son todos los números reales.
Generalmente el conjunto dominio de la expresa en notación de intervalos.
Ahora, analicemos el siguiente ejercicio: 
; el valor de <x solamente puede adoptar valores mayores o iguales a 3 para que dé como resultado un número real; si asignamos un valor de 2 por ejemplo, obtendríamos como resultado una raíz cuadrada de una cantidad negativa que no corresponde a un número real; siendo por lo tanto el dominio: [3, α), que significa todos los valores de 3 hacia la derecha en la recta numérica, hasta el infinito, incluyendo al 3 (intervalo semicerrado por la izquierda).
El rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los “resultados” de la función al aplicar los valores del dominio. Si retomamos el ejercicio anterior, observamos que la función solamente arrojaría valores positivos y nunca valores negativos, pues es una raíz positiva; entonces el rango o contradominio de la función son todos los valores positivos en la recta numérica incluido el 0, en notación de intervalos sería: [0, α).
Encontrando imágenes.- Cuando una función esta definida (generalmente por una expresión algebraica), muchas veces es necesario encontrar valores del rango, dados valores del domino de la función. Esta operación solamente consiste en reemplazar el valor del dominio (que toma las veces de la variable independiente) en la función dada por ejemplo: Sea la función 
.
Desarrollo:
Prueba de la recta vertical.- Una manera practica de saber si el grafico de una relación corresponde al gráfico de una función es la realizar la prueba de la recta vertical, que consiste en trazar una recta vertical por cualquier parte del grafico. Si la recta vertical corta al grafico a lo más en un punto, el gráfico constituye el gráfico de una función. Si la recta corta al grafico en más de un punto el grafico no corresponde al grafico de una función. Por ejemplo el gráfico de una circunferencia no constituye el gráfico de una función (La recta vertical corta la curva en dos puntos). Algunas veces se describen funciones en términos de varias expresiones, tales funciones se llaman funciones definidas por trozos o por partes. Veamos el siguiente ejemplo:
Sí <0, entonces toma la forma de f(x) = 2x+3. Esto quiere decir que si x es negativa, debemos usar la expresión 2x+3 para obtener los valores de f(x). Por lo tanto, si x < 0 la gráfica de ƒ coincide con la recta y=2x+3 y trazamos la porción de la recta (comprendida entre los límites marcados por el intervalo) a la izquierda del eje como se indica en la gráfica.
Sí 0 ≤ < 2, hay que emplear la expresión 
para determinar los valores de f(x) y, por consiguiente esta porción de la gráfica coincide con la parábola 
. Trazamos esta parábola entre x = 0 y x = 2, como se muestra en la figura. Por último sí x ≥ 2, los valores de ƒ son siempre 1. Esta parte de la gráfica corresponde a la semirrecta horizontal del gráfico.
Cuando se pide encontrar valores del rango en este tipo especial de funciones, se debe tomar en consideración que se trata de una sola función, sino que ésta está definida por intervalos o partes, y dependerá del valor del dominio, el valor del rango. Por ejemplo, si queremos hallar f(-2), deberíamos reemplazar −2 en la parte correspondiente a la función definida por 2x+3. En la página 202 de su texto encontrará más ejercicios resueltos de este tipo de funciones.
Funciones crecientes, decrecientes y constantes.- Una propiedad importante de las funciones, es la continuidad; el estudio de la continuidad se lo hace mas profundamente en el cálculo; pero el subcapítulo puede darnos una idea intuitiva del concepto de continuidad.
Las funciones crecientes, decrecientes y constantes se definen como sigue:
| Las funciones crecientes, decrecientes y constantes |
| Sea I un intervalo del dominio de una función ƒ. Entonces.
1.- ƒ es creciente en I sí ƒ(b) >ƒ(a) siempre que b > a en I 2.- ƒ es decreciente en I sí ƒ(b) < ƒ(a) siempre que b > a en I 3.- ƒ es constante en I sí ƒ(b) = ƒ(a) para todo a y b de I |
Si analizamos el siguiente gráfico podemos llegar a las conclusiones:
La gráfica es decreciente en el intervalo (−α,a), creciente en el intervalo [a,b] y decreciente en el intervalo [b, α). Si la gráfica de una figura no está rota o desunida en un punto, se dice que la función es continua en ese punto. A continuación tenemos un ejemplo de una función discontinua.
La gráfica muestra una discontinuidad, pues da un salto en un mismo punto (b). (Observe el análisis hecho por el autor en la página 183).
GRÁFICA DE FUNCIONES.
Lea y analice los contenidos de las páginas 196 a 207 Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica, que es la gráfica de las parejas ordenadas de números reales que constituyen la función. Cuando se dibuja la gráfica de una función, los valores del dominio se asocian por lo regular al eje horizontal y los valores del rango con el eje vertical.
Como se puede notar en el gráfico el dominio sería el intervalo [b, c] y el rango el intervalo [e, d]
Conjuntamente con el concepto, el gráfico de una función son muy importantes, pues a partir del gráfico se puede analizar el comportamiento de f(x) cuando los valores de x del dominio varían.
La gráfica de una función es la gráfica de la ecuación 
en el dominio de ƒ; si observamos el gráfico anterior:
La figura muestra el dominio de ƒ(conjunto de valores posibles de x) y el rango de ƒ (los valores correspondientes de y)
Las intercepciones x de la gráfica (llamadas también intersectos) de una función ƒ son las soluciones de la ecuación 
(es decir igualar a cero la función dada y resolverla). Estos números se conocen como ceros de la función. Las intercepciones con el eje Y de la gráfica están dadas por f(0). (Es decir hallar la imagen para 0 en la función) si es que existe. Veamos el siguiente ejemplo.
Halle las intercepciones de la gráfica de la función 
- Primero hallamos las intersecciones con el eje x hallando f(x)=0 así:
Es decir la gráfica de la ecuación interceptará al eje x en los puntos (−2,0) y (2, 0)
Luego hallamos las intercepciones con el eje y hallando de la siguiente manera.
Es decir la gráfica interceptará al eje y en el punto (−4,0). La gráfica correspondiente sería:
El numeral 3.2 de la página 145 y el numeral 3.5 de la página 196 de su texto le proporciona amplia explicación y más ejemplos para su análisis.
Funciones pares e impares.- Es muy importante saber si una función dada es par o impar, pues proporciona un auxiliar útil para hacer la gráfica; además, ciertos problemas de cálculo y matemáticas mas avanzados se simplifican cuando se sabe que la función es par o impar. Para saber si una función es par o impar se debe cumplir lo siguiente:
- Sí f(-x)=f(x) entonces ƒ es función par
- Sí f(-x)=-f(x) entonces ƒ es una función impar
Una función par es simétrica respecto al eje vertical ; una función impar es simétrica con respecto al origen.
Para determinar si una función es par se reemplaza en la ecuación original la variable independiente por su negativo y se analiza el resultado comparándolo con la función original. Si el resultado es una ecuación equivalente, entonces concluimos que la función es par. Veamos el siguiente ejemplo:
La función resultante es equivalente a la función original, determinando por lo tanto que la función es par.
- Determine si la función
es par o impar.
- Determine si la función
- Reemplazando x por −x tenemos
Como al realizar esta operación observamos que el resultado de reemplazar, resulta la función original cambiada de signo, concluimos que la función es impar.
Observe detenidamente el recuadro expuesto en la página 196, así como los ejercicios resueltos de las siguientes páginas. Es importante que analice lo correspondiente a desplazamientos horizontal y vertical de una gráfica.
Traslaciones verticales de las curvas (c > 0)
Traslaciones horizontales de las curvas (c > 0)
El siguiente gráfico le ilustrará de mejor manera:
El gráfico nos indica que la gráfica de la función y=f(x) se ha desplazado c unidades hacia la derecha de su posición original. Es decir se puede modificar el gráfico de una función mediante las traslaciones correspondientes; y se pueden modificar las funciones observando como se han trasladado las gráficas. Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo: Modificar la función y=f(x)=|x| de manera que su gráfico se traslade dos unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia abajo.
La ecuación modificada es: f(x)=|x-2|-3 Los gráficos serían:
TIPOS DE FUNCIONES.
Lea los contenidos de las páginas 185 y 187
Funciones lineales.- La expresión algebraica ax+b a≠0 es un polinomio de primer grado, por lo tanto, una función lineal se llama polinomio de primer grado. Se usa la palabra lineal para denominar estas funciones en virtud de que sus gráficas son líneas rectas.
- f(x)=ax+b a≠x Es una línea recta
Son las funciones más sencillas de graficar pues solo se necesitarán dos puntos de su gráfico. El dominio de estas funciones son los números Reales.
Otra función importante de anotar es la función identidad denotada por f(x)=x
El gráfico de esta función corresponde a una línea que divide a los cuadrantes en dos partes iguales, los puntos de la gráfica tienen la forma (a,a), (b,b). Observe el gráfico siguiente:
FUNCIONES CUADRATICAS.
Lea los contenidos de las páginas 213 a 218
Una función cuadrática tiene la forma 
La gráfica de una función cuadrática se denomina parábola. Las gráficas de todas las funciones cuadráticas son similares a la gráfica de 
con la diferencia de que sus concavidades (forma) pueden ser hacia arriba o hacia abajo o pueden ser reflejadas sobre el eje x. Los siguientes gráficos nos muestras las diversas formas de las parábolas.
El primer gráfico nos muestra el gráfico general de la parábola; el segundo nos muestra la parábola reflejada en el eje x: el tercer gráfico nos muestra la parábola trasladada b unidades hacia la derecha y el último gráfico nos muestra la parábola trasladada b unidades hacia la izquierda y c unidades hacia arriba.
Muchas veces es necesario reconocer el vértice de la parábola (especialmente cuando se requiere encontrar el rango de una función cuadrática, y los valores máximo o mínimo) el mismo que esta dada por la fórmula 
. Analice los ejemplos 6 y 8 de las páginas 217 y 218.
Analizando los gráficos de la función cuadrática, se puede concluir que el dominio de una función cuadrática son los números reales y el rango desde la ordenada del vértice hacia arriba o hacia abajo.
OPERACIONES SOBRE FUNCIONES.
- Lea y analice los contenidos de las páginas 229 a 235
Con las funciones es posible realizar las cuatro operaciones fundamentales es decir, sumar, restar, multiplicar y dividir funciones. El resultado de estas operaciones son otras funciones en las que ha variado simplemente la forma y sus dominios. Los dominios serán las intersecciones de sus dominios (puesto que el dominio es un conjunto numérico es posible realizar esta operación conjuntista).
Este tipo de operaciones no trae consigo ninguna dificultad, pues deberá recordar simplemente como se realizan las operaciones fundamentales con expresiones algebraicas (Analice los ejercicios resueltos 1 y 2 de la página 229, observe y comprenda el cuadro de la página misma página). Un ejemplo claro de operaciones con funciones es un polinomio, si a este lo consideramos como una combinación de sumas y restas de varias funciones. El gráfico de estas funciones se las puede realizar por suma de coordenadas o se pueden graficar de la forma ya descrita anteriormente.
Composición de funciones.- La función composición esta simbolizada por ° y se define así:
- Sea el gráfico.
Sea ƒ una función de E a D y sea g una función de E a K. La función composición g of (que se lee “g o f ”) es la función de D a K definida por:
Podemos ilustrar la definición con el siguiente ejemplo: Sea f(x)=x-2 y g(x)=5+√x, Hallar (g of)(x) y su dominio. Solución.
- Las sustituciones formales dan lo siguiente:
(Definición de g Of)
(Definición de f)
(Definición de 'g)
(Simplificación y resultado)
El dominio de ƒ es el conjunto de todos los reales; sin embargo, la última igualdad implica que (g of)(x) es un número real sí x ≥ 2. Así el dominio de la función composición g of está en el intervalo [2,∞). Fíjese en los ejemplos 3 y 4 de las páginas 231 y 232, en las cuales el autor expone y explica los procedimientos seguidos. El siguiente ejemplo ilustra una aplicación práctica de la composición de funciones, que aunque no esta en nuestro campo nos ayudará a comprender mejor. Un globo esférico de juguete se infla con gas helio. Si el radio del globo cambia a razón de 1,5 centímetros cada segundo, expresar el volumen V del globo como una función del tiempo. Solución. Suponiendo que es el radio del globo.
- Se supone que inicialmente el radio del globo es 0.
- Después de t segundos x=1.5t (radio del globo después de t segundos)
- El volumen de una esfera de radio x está dada por
- El volumen de una esfera de radio x está dada por
- Esta es una relación en forma de comparación de funciones, en la que V es una función de x y;x es una función de t. Sustituyendo se tiene:
A partir del conocimiento del gráfico de una función específica, se pueden graficar otras, mediante traslación (aplicando suma o diferencia de funciones y composición de funciones), a partir de las siguientes reglas generales:
Capitulo4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
Este capítulo en su texto guía es muy extenso, solamente usted analice y estudie los subcapítulos mencionados en esta guía didáctica.
Una función polinomial tiene la forma 
, son números enteros no negativos. Si el coeficiente 
se dice entonces que la función polinomial es de grado n, el número 
se denomina coeficiente principal del polinomio.
- Retomando la forma de una función polinomial ƒ de grado n; esto es
y analizando tenemos:
- Retomando la forma de una función polinomial ƒ de grado n; esto es
- Para
. El dominio de ƒ son todos los reales.
- Para
- Debe recordar que sí f(c)=0, entonces c es un cero de ƒ o bien de f(x).
- También se conoce a c como solución o raíz de la ecuación f(x)=0. Los ceros de ƒ son las intercepciones x de la gráfica de ƒ.
FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO MAYOR QUE 2
- Lea los contenidos de las páginas 248 a 263.
En este caso si n = 1, la gráfica de ƒ es una recta; si n = 2, la gráfica es una parábola con vértice en el origen. El siguiente ejemplo le ilustra otros casos con n = 3.
Trazar la gráfica de ƒ sí
.
La siguiente tabla muestra varios puntos de la gráfica
.
Como ƒ es una función impar, la gráfica de ƒ es simétrica con respecto al origen y por tanto los puntos (-1/2, -1/16), (-1,-1/2), etc., son también puntos de la gráfica (obtenidos por simetría) que aparece a continuación
Sí
la gráfica se puede obtener a partir de la anterior, multiplicando las ordenadas por –1, esto equivale a reflejar la imagen a través del eje x, como aparece en la siguiente figura:
En general, sí
entonces un aumento en el valor numérico del coeficiente a tendrá como consecuencia que la gráfica crezca o decrezca mas tajantemente.
Sí
y n es un entero par, entonces la gráfica de ƒ es simétrica con respecto al eje y como se ilustra en la gráfica (a); para el caso en que |x|=1, se nota también que al aumentar el valor del exponente, la gráfica se aplana más en el origen figura (b)
Se requieren métodos que se estudian en cálculo para hacer un análisis completo sobre gráficas de funciones polinomiales de grado mayor que 2. Generalmente, a medida que el grado aumenta, la gráfica es más complicada. El estudio de este capítulo también tiene como objetivo graficar funciones polinomiales de tercero y cuarto grado que están factorizadas o que se pueden factorizar. En la mayoría de los casos, se puede obtener una gráfica totalmente precisa utilizando el procedimiento sugerido a continuación:
| 1. Calcule f(-x) para determinar si la grafica tiene alguna simetria
2. Calcule el intersecto f(0) en y. 3. Factorice el polinomio 4. Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuacion f(x) = 0 5. Trace una recta numerica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicara donde f(x) > 0 y donde f(x) < 0. 6. Grafique la funcion utilizando los resultados de los pasos 1 - 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario. |
En los casos en los que f(x) son positivos, f(x)>0, la gráfica de la función está por encima del eje x. La gráfica de la función esta por debajo del eje x, en aquellos intervalos donde los valores f(x) de f(x) son negativos (f(x)<(0). Analice los ejercicios resueltos de las páginas 248 a 263. En el caso que nos interese encontrar soluciones reales de ecuaciones polinomiales con coeficientes reales se aplicarán algunas propiedades importantes de los polinomios, los que utilizando los teoremas descritos en su texto guía (teorema del residuo, teorema del factor, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de las n raíces). Temas que por el momento no son de análisis y que no se incluyen en este estudio (Si le queda tiempo puede analizarlos).
FUNCIONES RACIONALES
- Lea y analice los contenidos de las páginas 289 a 303
Las funciones racionales se definen en términos de cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una función racional sí:
P(x), Q(x) son polinomios; el dominio de R es el conjunto de todos los números reales tales que Q(x)≠0. Las funciones racionales son continuas para todo valor de , con excepción de aquellos para los que el denominador Q(x) es cero.
Para graficar una función racional, comenzamos como antes: determinamos cualquier simetría y luego hallamos los intersectos. El intersecto en y es ƒ(0), siempre y cuando el número 0 esté en el dominio de ƒ. Por ejemplo, la gráfica de 
no atraviesa el eje x, puesto que f(x) no está definido (produce indeterminación al hallar la imagen de 0 en la función).
Asíntotas horizontales y verticales.- Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica, se llaman asíntotas.
Para indicar que se aproxima a un número a, utilizamos la simbología expuesta en la página 291 explicada con los gráficos respectivos.
A continuación se ilustran los métodos generales para localizar asíntotas verticales de funciones racionales:
| Asíntotas Verticales |
| Se dice que una recta x=a es una asíntota vertical para la gráfica de una función ƒ sí:
|
| Asíntotas Horizontales |
| Se dice que una recta y=c es una asíntota horizontal para la gráfica de una función ƒ sí:
|
La gráfica de una función puede tener máximo dos asíntotas horizontales pero la gráfica de una función racional puede tener máximo una asíntota horizontal. Además, una gráfica de una función nunca puede atravesar una asíntota vertical, pero una gráfica puede atravesar una asíntota horizontal varias veces.
- El siguiente teorema es muy útil al graficar funciones racionales.
| Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma
1.- Sí m<n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal. 2.- Sí m=n, la recta 3.- Sí m>n, no hay asíntotas |
En las páginas 294 a 303 de su libro guía encontrará una amplia explicación así como ejercicios resueltos y explicados.
Capitulo 5: FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
FUNCIONES INVERSAS
- Lea y analice los contenidos de las páginas 320 a 326
Se dice que una funcion f es uno a uno o biunivoca si y solo si cada elemento del rango de f esta asociado con exactamente un elemento de su dominio x
Para una función ƒ de referencia, la inversa se representa por 
. La definición de función inversa es:
Es muy importante no confundir la notación como un exponente negativo.
Además es importante observar que una función ƒ que es creciente o decreciente totalmente en su dominio tiene una función inversa. En el gráfico de una función, si se quiere comprobar que una función es biunívoca o uno a uno, se hace la prueba de la recta horizontal, que consiste en hacer pasar una línea horizontal por cualquier parte de la gráfica. Sí la línea corta en más de un punto la gráfica, la función no es biunívoca; si la corta en un solo punto, la función es uno a uno o biunívoca.
Observemos los siguientes graficos.
La siguiente es una guía que le ayudará a obtener la inversa de una función
- 1.- Verificar que ƒ es una función biunívoca (o ƒ es creciente o decreciente) en su dominio.
- 2.- Resolver la ecuación y=f(x) para evaluar x en términos de y, obteniéndose una ecuación de la forma
- 2.- Resolver la ecuación y=f(x) para evaluar x en términos de y, obteniéndose una ecuación de la forma
- 3.- Verificar las dos condiciones:
- Para todo x en los dominios de f y
respectivamente.
- Para todo x en los dominios de f y
- Veamos el siguiente ejemplo:
Sustituimos por
Intercambiamos las variables y
Despejamos y.
Usamos la notación de la inversa.
Si analizamos los gráficos de f(x)y (x) se nota que los gráficos se muestran como reflejados en la recta y=x. Fíjese en los gráficos de la página 241.
FUNCIONES EXPONENCIALES.
- Lea y analice los contenidos de las páginas 331 a 336
- Si a > 0, entonces la función exponencial ƒ con base a se define como:
- En donde xes cualquier número real.
- Si a >1 la función exponencial ƒ con base a, es creciente para todos los reales.
También se puede demostrar que sí 0 < a < 1, entonces ƒ es decreciente para todos los reales. Uno de los ejemplos más comunes de este tipo de funciones es el crecimiento de una población determinada, interés compuesto; otro ejemplo de función exponencial aplicada es en el crecimiento bacteriano. Una función exponencial es o bien creciente o decreciente y por lo tanto es biunívoca y tiene función inversa. Los gráficos de estas funciones son característicos y dependerá entonces del valor de la base para saber si es creciente o decreciente. Así mismo mediante traslaciones se pueden modificar las ecuaciones y los gráficos. Los gráficos típicos de estas funciones son:
Utilizando las propiedades para mover y trasladar gráficas, podemos obtener una gran variedad de gráficos con esta función. Observando los gráficos podemos deducir las siguientes propiedades de la función exponencial:
- El dominio de ƒ es el conjunto de los números reales (el gráfico se extiende indefinidamente a lo largo del eje x positivo y negativo).
- El rango de ƒ es el conjunto de las reales positivos. (el gráfico se extiende indefinidamente hacia arriba del eje de las x).
- El intersecto en y para la gráfica de ƒ es 1. La gráfica no tiene intersectos en x.
- El eje x es una asíntota horizontal para la gráfica de ƒ.
- La función ƒ es creciente si a > 0 y decreciente si 0< a < 1.
- La función ƒ es biunívoca (uno a uno).
Grafique la función 
Solución: Observamos que
Lo que implica que ƒ es una función par. En consecuencia la gráfica es simétrica con el eje y. El intersecto en y de la gráfica es ƒ(0) = 30 = 1. Utilizando esta información y marcando los puntos que resultan de la tabla anexa podemos graficar la función que se muestra a continuación.
En las páginas 323 a 333, encontrará una variedad de ejercicios explicativos, así como interesantes aplicaciones para su análisis.
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL.
- Lea los contenidos de las páginas 344 a 349.
Se menciona con frecuencia como la función exponencial natural debido a su amplio uso, las razones para la preferencia de e como base, se aclaran mejor en cursos más avanzados. La combinación de varias funciones exponenciales naturales da como resultado las funciones hiperbólicas, utilizadas en matemáticas superiores y que tienen aplicaciones especialmente en la Ingeniería civil (ejemplo en cables, puentes, etc.) Analice y estudie detenidamente los ejemplos expuestos en las páginas 344 a 349. Para la solución de varios ejercicios será necesario aplicar las leyes y propiedades básicas de los exponentes. (Ya analizadas anteriormente).
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
- Lea los contenidos de las páginas 355 a 366.
Sí 
, entonces ƒ es creciente para todo número real; mientras que sí 0 < a < 1, ƒ es decreciente. Por consiguiente, sí a > 0 y a ≠ 1, entonces ƒ es biunívoca (uno a uno) y por lo tanto tiene una función inversa 
. La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por 
Sus valores se representan como 
o como 
, puesto que:
</p<
se puede expresar de la siguiente manera:
son los reales positivos y su rango todos los números reales. Por esta razón, en la definición x > 0 y y está en los números reales.
Los gráficos características de esta función son:
La función logarítmica con base a tiene las siguientes propiedades:
- El dominio de ƒ es el conjunto de los números reales positivos (el gráfico se extiende indefinidamente a lo largo del eje x positivo).
- El rango de ƒ es el conjunto de las reales (el gráfico se extiende indefinidamente hacia arriba y hacia abajo del eje de las x)
- El intersecto en x para la gráfica de ƒ es 1. La gráfica no tiene intersecto en y.
- El eje x es una asíntota vertical para la gráfica de ƒ.
- La función ƒ es creciente en el intervalo (0, ∞) si a > 1 y decreciente en el intervalo (0, ∞) si 0< a < 1.
- La función ƒ es biunívoca (uno a uno).
Es importante anotar que las dos ecuaciones y = y 
son equivalentes, podemos utilizar la más conveniente (especialmente es de mucha utilidad utilizar la forma exponencial para graficar funciones logarítmicas que no tengan base 10). La siguiente tabla nos muestra varios ejemplos:
Observando estos ejemplos podemos deducir que:
Ya que 
, respectivamente. Debe notarse que 
no tiene sentido para x ≤ 0, puesto que no hay exponente y para el que 
.
Ejemplos:
Despeje las incógnitas:
Solución: En cada caso utilizamos la forma exponencial equivalente y así resulta más fácil la solución:
Así también si se quiere graficar una función logarítmica de cualquier base (excepto base 10), se aplica la misma transformación y las operaciones se facilitan, veamos el siguiente ejemplo.
Graficar la función 
Solución.
Solamente calculadoras científicas especiales pueden realizar la operación directamente, sin embargo aprovechando las propiedades podemos graficar la función con el uso de una calculadora normal.
- Primeramente transformamos la función logarítmica a función exponencial así:
(Hemos transpuesto el 2 al primer miembro).
(Hemos transformado a la forma exponencial)
(Hemos despejado x)
Ahora elaboramos una tabla de valores así:
Gráfico:
Desde la página 355 a 363, encontrará una amplia explicación y además ejercicios resueltos para su mejor comprensión y análisis.
Logaritmos comunes y naturales.- Anteriormente al uso de las calculadoras electrónicas, se usaban los logaritmos de base 10 para efectuar operaciones numéricas complicadas en la que intervenían productos, cocientes y potencias de números reales. La base 10 se utilizaba por que era la más apropiada para manejar números que estén expresados en forma decimal.
Los logaritmos de base 10 se los conoce como logaritmos comunes. El símbolo logxse utiliza como abreviatura de 
, así tenemos la siguiente definición:
En la actualidad ya casi no se usan logaritmos como herramienta para los cálculos pues existen las calculadoras, sin embargo, la base 10 se presenta en las aplicaciones y por ello la mayoría de calculadoras tienen una tecla asignada a esta función, que sirve para aproximar logaritmos comunes.
Logaritmos naturales.- Anteriormente se definió a la función exponencial natural ƒ por medio de la ecuación 
. La función logarítmica en base e se llama función logarítmica natural. Se utiliza el símbolo lnx, y se denomina logarítmica natural de x.
Por lo tanto, el logaritmo natural y la función exponencial natural son funciones inversas la una de la otra. La definición de logaritmo natural será:
Por las aplicaciones de los logaritmos, especialmente en la solución de problemas que involucran logaritmos es necesario comprender y aplicar correctamente las leyes de los logaritmos, las cuales están explicadas en la sección 5.5 de su libro guía, página 370. Ya que las calculadoras científicas solamente usan logaritmos comunes y naturales, entonces no se puede dar el valor numérico de logaritmos con bases diferentes. Sin embargo se puede salir de este pequeño dilema utilizando logaritmos de base 10 y la fórmula de cambio de base. La fórmula de cambio de base la encuentra en la página 379.
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.
- Lea los contenidos y analice los ejercicios resueltos de las páginas 378 a 387.
Sí las variables de las ecuaciones están como exponentes o logaritmos, las ecuaciones suelen llamarse ecuaciones exponenciales o logarítmicas respectivamente.
Para resolver las ecuaciones de este tipo generalmente se usan las propiedades y leyes de los logaritmos, especialmente la propiedad biunívoca. En las páginas 378 a 387encontrará ejercicios resueltos que le servirán como guía.
Capitulo 6 Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
ÁNGULOS
En esta parte vamos a recoger la definición de ángulo geométrico y compararla con la de ángulo trigonométrico.
- Lea y analice los contenidos de las páginas 400 a 407.
Según geometría plana, ángulo es la parte o porción del plano comprendida entre dos rayos que tienen el mismo origen. El origen común constituye el vértice y los rayos respectivos, los lados. Ejemplo:
Como un ángulo tiene la forma de una v, se denota por ∠ ó ∧ y para nombrarlo se antepone o se coloca sobre la parte superior del nombre del ángulo. Ejemplo: ∠ A.
En trigonometría se interpretan los ángulos como rotaciones de rayos. Un rayo que permanece fijo que se llama lado inicial y el otro que adopta otra posición luego de haber rotado, el lado terminal. Debido a este concepto y de acuerdo al sentido de giro del lado generatriz, en trigonometría se definen ángulos positivos y ángulos negativos.
Los ángulos positivos serán aquellos que se han generado por una rotación en sentido antihorario y por el contrario los negativos por una rotación en sentido horario.
Para indicar el sentido de giro y cuando se ha dibujado el ángulo, se dibuja una cabeza de flecha, indicando el inicio (lado inicial) y el final del ángulo; de la siguiente manera:
Una posición muy importante de un ángulo trigonométrico es su posición estándar (llamada también posición normal). Un ángulo está en posición estándar cuando su lado inicial coincide con el eje positivo de las x y su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas. El lado terminal del ángulo colocado en esta posición indicará el cuadrante al que pertenece dicho ángulo.
Se dice que dos o más ángulos son coterminales, cuando colocados en posición estándar sus lados terminales coinciden; son de diferente magnitud pudiendo ser positivos y/o negativos. Una propiedad muy importante es que las funciones trigonométricas de ángulos
coterminales son iguales.
Derivada de la definición de ángulo trigonométrico, consideraremos que en trigonometría existen ángulos de cualquier magnitud. Cuando el lado final de un ángulo colocado en posición estándar coincide con cualquiera de los ejes coordenados se denomina ángulo cuadrantal. Ejemplo: un ángulo de 90°, 180°, 540°, − 360°.
Medir un ángulo significa compararlo con otro que se toma como referencia. El ángulo que se selecciona como referencia constituye la unidad de medida y que, en forma general, puede ser cualquiera de los siguientes más conocidos:
a. El grado sexagesimal. Es aquel ángulo central que comprende un arco igual a la trescientos sesentava parte de un círculo cuyo centro es el vértice de dicho ángulo. Se representa por el símbolo (°). El grado sexagesimal posee 60 minutos y cada minuto 60 segundos.
b. El radián. El radian es el ángulo central que teniendo su vértice en el centro de un círculo, subtiende un arco de longitud igual a la que corresponde al radio de dicho círculo. Simbólicamente se representa por (rad). El número de veces que uno de estos ángulos, tomado como unidad de medida, se encuentra contenido en aquel que se mide constituye la medida de dicho ángulo.
- Para transformar de grados a radianes se usa la relación: Nro. rad. =n°.
- Para transformar de grados a radianes se usa la relación: Nro. rad. =n°.
- Para transformar de radianes a grados se usa la relación: No = Nro. rad.
- Para transformar de radianes a grados se usa la relación: No = Nro. rad.
1. Por su medida. Por la medida respectiva los ángulos pueden ser:
- a. Ángulos nulos.- Cuando la medida correspondiente es 0°; es decir, sus lados están superpuestos.
- Nota : El ángulo nulo constituye el elemento neutro en la adición de ángulos.
- b. Ángulos obtusos.- Se llama ángulos obtusos a aquellos ángulos cuya medida esta comprendida entre 0° y 180°, excepto dichos valores (o sus equivalentes en las otras unidades).
- c. Agudos. Si su medida es menor que 90° o su equivalente en las demás unidades.
- d. Rectos. Si tienen por medida 90°, o su equivalente en las demás unidades, exactamente.
- e. Ángulos llanos.- Son aquellos cuya medida es exactamente 180° o sus equivalentes en las otras unidades; es decir/ son los que tienen sus lados colineales.
- f. Ángulos de una vuelta.- Tienen por medida 360° exactamente, o su equivalente en las restantes unidades.
- g. Ángulos de cualquier magnitud.- Son aquellos que se generan por la rotación de un rayo alrededor del origen, con respecto de la posición original, habiendo dado más de una vuelta. La posición inicial representa el lado inicial y la final, el lado terminal, en forma respectiva.
- h. Ángulos complementarios.- Son aquellos ángulos que sumados dan 90°.
- i. Ángulos suplementarios.- Son aquellos ángulos que sumados dan 180°.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS.
- Lea los contenidos de las páginas 411 a 425.
Como se conoce que una razón es el cociente entre dos cantidades, cuando éstas pertenecen a un triángulo rectángulo, surgen unos cocientes trascendentes y cada uno toma un nombre especial, como se muestra enseguida:
- Sea el Triangulo:
Aquí, con relación a cada ángulo: A es cateto opuesto al ángulo a, B al ángulo b; B es cateto adyacente al ángulo a, A es cateto adyacente al ángulo B; C es la hipotenusa (lado mayor). Además:
- El cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa se llama Seno del ángulo:
- Sen a = A/C
- El cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa se llama Coseno del ángulo:
- Cos a = B/C
- El cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama Tangente del ángulo:
- Tan a = A/B
- El cociente entre el c ateto adyacente y el cateto opuesto se llama Cotangente del ángulo:
- Cot a = B/A
- El cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente se llama Secante del ángulo:
- Sec a = C/B
- El cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto se llama Cosecante del ángulo;
- Csc a = C/A
- Sec a = C/A ; Csc a = C/B
Como se ve Sena=Cosb; Tana=Ctgb ; Seca=Cscb. A estas parejas de funciones se las denomina cofunciones, dándose que; siendo a y b, ángulos complementarios una de las funciones de las parejas, es igual a la cofunción de su ángulo complementario. De esto se tiene que, si existe en alguna aplicación por ejemplo, Sen(90°−x) , esto es igual a Cosx ( x es el complemento). Con números; Tan57°=Cot33°
Ejemplo: Dado Senx=35, hallar el valor dé las demás funciones.
Solución:
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Este subcapítulo es de mucha importancia puesto que en el mismo usted aprenderá a encontrar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos, sin el uso de calculadora. Lea los contenidos de la página 414.
Se pueden hallar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60° por métodos sencillos y sin utilizar calculadora, si tomamos en cuenta la definición de las funciones y los valores de los lados de un triángulo equilátero (los 3 lados y sus tres ángulos son iguales) tenemos: <p>
Como se puede observar ha quedado definido un triángulo rectángulo con sus lados y ángulos conocidos.
Ahora podemos calcular los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 
Para las funciones de 45° usamos un triángulo rectángulo isósceles (los catetos son iguales y sus ángulos opuestos son iguales y miden 45°) veamos:
Es importante que Ud. aprenda a deducir estos valores, los exámenes se realizan sin el uso de calculadora y lo que se aplican son estos valores. Se puede hacer práctica de la operatoria algebraica con los valores de las funciones trigonométricas por ejemplo: Halle el valor de la siguiente expresión: 2Cos 45° + 3Ctg 60° − 5Csc 30°. Este tipo de ejercicios se realizan efectuando las operaciones algebraicas con los valores de estas funciones así:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES. Hay muchas relaciones importantes entre las funciones trigonométricas. Las básicas se denominan identidades fundamentales y vale la pena memorizarlas. De la definición de funciones trigonométricas se derivan las siguientes identidades: identidades básicas:
Llamadas identidades pitagóricas. Además se tiene que:
Llamadas identidades recíprocas.
Llamadas identidades de cociente. La aplicación de estas identidades trigonométricas fundamentales se la hace principalmente en la demostración de otras identidades, necesitándose para esto del dominio de la operatoria algebraica, así como el dominio total de estas relaciones. Ud encontrará ejemplos en las páginas 418 y 419.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO.
- Lea los contenidos de las páginas 421 a 425.
, entonces y = opuesto, x = adyacente r = hipotenusa, entonces tenemos que:
Estas expresiones nos dan un modelo sobre el cual basamos nuestra definición extendida para cualquier ángulo θ en posición normal, tal como lo ilustramos a continuación:
Si consideramos a P como un punto (x,y) cualquiera distinto de (0,0), en el lado terminal del ángulo θ en posición estándar, si
es la distancia entre (0,0) y (x,y), entonces las seis funciones trigonométricas de θ se definen:
Los valores de las funciones trigonométricas dependerán exclusivamente del valor de θ, independientemente donde se escoja el punto P de coordenadas.
Recuerde las restricciones que tiene las funciones trigonométricas que implican denominador que puede ser 0 (aquellas que involucren a x y y ). Del cuadrante en que este el lado terminal del ángulo dependerán los signos de las funciones trigonométricas. Recuerde que r es una distancia, por lo tanto siempre va a ser positiva. Existe una regla nemotécnica que permite recordar fácilmente los signos de las funciones trigonométricas de ángulos en los cuatro cuadrantes a saber:
Explicación: La regla nemotécnica nos dice “Señorita Sin Tacos”; haciendo una analogía con los signos sería: Señorita que significaría Todas las funciones son positivas en el primer cuadrante; Sin que es la abreviatura de seno en inglés (la misma simbología que tiene la tecla seno de su calculadora) que significaría que el seno y su recíproca la cosecante son positivas en ese cuadrante; Ta que es la abreviatura de tangente, que significaría que la tangente y su recíproca la cotangente son positivas en ese cuadrante y; cos, que significaría que el coseno y su recíproca la secante son positivas en ese cuadrante, todas las demás funciones tienen signo negativo.
Ejemplo:
- Determine las funciones trigonométricas de un ángulo si un punto en su lado terminal tiene por coordenadas (−3,4).
Solución:
Como podemos observar, de acuerdo a los signos de x y de y, el ángulo tiene su lado terminal en el segundo cuadrante. Con esta primera conclusión ya podemos determinar los signos que tendrán las funciones trigonométricas (Solamente el seno y su recíproca serán positivos).
Calculamos el tercer dato que falta y que es 
Con las definiciones anotadas anteriormente de las funciones trigonométricas hallamos los valores de las funciones así:
Si se da como dato la función y su valor, el signo del valor de la función indicará los cuadrantes a los que pertenecen los ángulos. (Hay dos ángulos puesto que las funciones trigonométricas tienen igual signo en dos cuadrantes).
Ejemplo: En que cuadrantes está el ángulo A si se conoce que 
. Los cuadrantes a los que pertenece A son el primero y tercer cuadrante, puesto que la tangente es positiva en esos dos cuadrantes.
De las páginas 413 a 417 usted tiene explicado y ejemplificados estos conceptos.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES.
- Lea los contenidos de las páginas 429 a 443.
El círculo trigonométrico. El cambio de ángulos a números reales se hace considerando que a cada número real t le corresponde un ángulo de t radianes. Podemos visualizar esta correspondencia utilizando una circunferencia centrada en su origen con radio 1. Esta circunferencia se llama circunferencia unitaria veamos las siguientes figuras:
Definición: El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe. Por ejemplo, el seno del número real, es simplemente, el seno del ángulo de π/6 radianes (que como usted sabe, es ½). De esta manera, no hay en realidad nada nuevo al evaluar la función trigonométrica de un número real. La circunferencia unitaria es muy útil para describir las funciones trigonométricas de los números reales. Para cualquier número real t consideremos el ángulo de t radianes en posición estándar. Sea Pt el punto de intersección del lado terminal del ángulo de t radianes con el círculo unitario. Ya que Pt está en la circunferencia unitaria, la distancia de Pt al origen O es r = 1. Si (x,y) son las coordenadas de Pt, como se indica en la figura y de acuerdo a las definiciones, encontramos que:
En particular, las coordenadas de Pt Son:
En otras palabras, para cualquier número real t, Cos t y Sen t son las coordenadas x, y y respectivamente del punto de intersección del lado terminal del ángulo de t radianes (en posición estándar) con la circunferencia unitaria.
Como veremos mas adelante, de este resultado podemos obtener algunas propiedades importantes de las funciones seno y coseno. Debido al papel jugado por la circunferencia en este análisis, las funciones trigonométricas se refieren algunas veces a las funciones circulares. Ya que Pt (x,y) está situado en la circunferencia unitaria, se deduce que
Dominio y Rango.
Las observaciones anteriores indican que tanto Cos ( t ) y Sen ( t ) pueden ser cualquier número real del intervalo [−1, 1]. Así obtenemos las funciones seno y coseno
- Ambas con dominio en los números reales y como rango, el intervalo [−1, 1].
En general podemos decir que, las funciones seno y coseno repiten sus valores cada 2π unidades; se deduce que para cualquier número entero n:
En general se dice que una función no constante ƒ es periódica si hay un número positivo p tal que:
- para cada t en el dominio de ƒ. Si p es el número mas pequeño para lo cual f(t)=f(t+p) es verdadera, entonces p se llama período de la función ƒ.
- Revise los contenidos de la página 434.
El hecho de que Sen(−t)=−Sent y Cos(−t)=Cost, sea válido para cualquier número real t, implican que la función coseno sea par, y la función seno sea impar.
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
- Lea los contenidos de las páginas 448 a 453.
- Analice los ejercicios realizados por el autor en la página 453.
GRÁFICAS TRIGONOMÉTRICAS.
- Lea y analice los contenidos de las páginas 456 a 465.
Una buena ayuda para el mejor entendimiento de las funciones trigonométricas es examinar sus gráficas. Teniendo presente los conceptos de amplitud, dominio y periodicidad, podemos bosquejar las gráficas de las funciones trigonométricas. Una técnica para graficar estas funciones, es el uso de la calculadora, que consistirá en dar valores al ángulo y obtener el valor de la función para ese ángulo, la amplitud del valor escogido para los ángulos dependerá del número de puntos para graficar y del período de la función. De las página 457 a 451 usted encontrará explicados los procedimientos para elaborar gráficos, así como varios ejemplos explicativos. El cuadro expuesto en la página 441 le servirá de mucha ayuda para comprender las propiedades y las características más importantes de las funciones trigonométricas y sus gráficos. Nota: Las funciones seno, coseno, secante y cosecante, son crecientes o decrecientes por intervalos. Todas estas funciones son inyectivas, sobreinyectivas o biyectivas en intervalos específicos. Trabajando con ángulos compuestos, en radianes y haciendo previamente la tabla respectiva, se tiene las gráficas para ciertas funciones de referencia.
Capitulo 7: TRIGONOMETRIA ANALITICA
Verificación de identidades trigonométricas.
- Lea los contenidos de las páginas 502 a 506.
Ejemplo:
Para todos los números reales t para el que t esta definido y Tant≠0.
Hay muchas identidades que tiene que ver con las funciones trigonométricas. Las más importantes son las identidades fundamentales citadas anteriormente. La variable t puede representar en cada identidad un número real o la medida en grados o radianes de un ángulo.
A continuación enumeramos algunas técnicas para verificar identidades que pueden resultar útiles.
1.- Simplifique el lado mas complicado de la ecuación. 2.- Encuentre el mínimo común denominador para la suma o diferencia de fracciones. 3.- Si las dos técnicas anteriores fallan, exprese todas las funciones trigonométricas en términos de senos y cosenos y luego trate de simplificar. De las páginas 502 a 506 encontrará ejercicios resueltos para su mejor comprensión y análisis.
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
- Lea los contenidos de las páginas 508 a 519.
Una ecuación trigonométrica es aquella igualdad en la cual la incógnita está afectada por funciones trigonométricas y cuyo valor es necesario encontrar mediante procedimientos específicos que para este fin existen, mismos que se pueden aplicar directamente, cuando la ecuación está compuesta por términos afectados por la misma función y que se acopla a la forma concreta de una expresión algebraica conocida (un trinomio cuadrado, una suma de cubos, etc.), facilitándose directamente la aplicación inmediata de las reglas correspondientes.
Sin embargo hay ocasiones en las cuales, previamente, antes de que la relación dada adopte una forma adecuada para su solución, requiere de transformarla a una forma más simple, mediante la sustitución de equivalentes que hagan posible esta actividad y concluir con el trabajo. Es importante destacar que no necesariamente la solución es única, puede haber muchas o infinito número de soluciones. Los ejemplos siguientes ilustran mejor lo indicado.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
Esta sección está muy explicada por el autor de su libro guía en las páginas 508 a 519 analice los ejercicios resueltos.
FÓRMULAS DE SUMA Y RESTA.
Las fórmulas que veremos a continuación nos permitirán expresar cierto tipo de expresiones trigonométricas en formas más simples y útiles. Estas fórmulas son muy importantes en el cálculo y en las ciencias físicas. Aunque las deducciones utilizan ángulos, las aplicaciones a otros campos tienen que ver en general con las funciones trigonométricas de los números reales.
- Lea los contenidos de las páginas 523 a 530.
Estas fórmulas las podemos aplicar tanto en la comprobación de identidades, así como a la solución de ecuaciones trigonométricas. Analice y comprenda los ejercicios plantados y resueltos por el autor de su texto guía.
FÓRMULAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES.
Fórmulas del ángulo doble.
- Lea los contenidos de las páginas 532 a 536
- sen2u=2senucosu
Estas fórmulas no solamente se aplican cuando el ángulo tiene esta forma, sino que se las puede utilizar para otros ángulos que tiene la misma relación. Veamos el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 1
Halle: Sen 4u
La relación que guardan los ángulos en la fórmula es de 2 a 1, por lo tanto para hallar Sen4utendríamos que guardar la misma relación así: sen4u=2sen2ucos2u Estas fórmulas funcionan para cualquier valor del ángulo u. Analice los ejercicios resueltos en las páginas 534 y 535. Fórmulas de ángulo mitad.
- Lea los contenidos de las páginas 537 a 540.
Cabe anotar que la misma aclaración hecha para las fórmulas anteriores se las hace para estas fórmulas. Ejemplo:
La relación que guardan los ángulos en las fórmulas del ángulo mitad es de 1 a 2, por eso observe que para la fórmula del Coseno, 
Las aplicaciones así como la deducción de estas fórmulas están explicadas en su libro guía de las páginas citadas anteriormente.
FUNCIONES INVERSAS.
- Lea los contenidos de las páginas 549 a 561
- Las siguientes son las propiedades para las funciones trigonométricas inversas:
Cuando en nuestra calculadora hallamos el valor de un ángulo, estamos aplicando las funciones trigonométricas inversas; cuando resolvemos una ecuación trigonométrica aplicamos las funciones inversas. Note la diferencia de una función y su inversa.
Capitulo 8 APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
- Lea y analice los contenidos y ejercicios resueltos de las páginas 479 a 491.
- Sol.
- Sol.: Sea el triángulo
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.
Recordemos que un triángulo oblicuángulo es aquel en el cual ninguno de sus ángulos internos es recto, pudiendo ser los tres agudos o uno obtuso y los demás agudos. En el primer caso, el triángulo es acutángulo y, en el segundo, obtusángulo. De similar forma que en los triángulos rectángulos, resolver un triángulo oblicuángulo significa determinar la medida tanto de los ángulos como de los lados, conociendo tres de ellos, uno de los cuales debe ser, necesariamente, un lado (hay casos en los cuales se puede tomar también un segmento notable de manera que sea posible la solución que se busca). La resolución de este tipo de triángulos tiene métodos específicos, de los cuales dos son los fundamentales que Ud. debe conocer prioritariamente, por la amplia aplicación que tienen. Estos son: la ley de los Senos y la ley de los Cosenos.
LEY DE LOS SENOS.
- Lea los contenidos de las páginas 570 a 577.
Veamos la siguiente prueba preliminar, luego la enunciamos.
Sea el triángulo:
EJEMPLO 1
Resolver el triángulo abc en el cual el lado A mide 6, b = 60° y a = 40°.
Sea el triángulo:
LEY DE LOS COSENOS.
- Lea los contenidos de las páginas 580 a 586.
Sea el triángulo abe de referencia:
En cualquier caso, significa que: “El cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de las longitudes de estos dos lados por el coseno del ángulo comprendido entre eIlos”.
EJEMPLO:
Resolver el triángulo abe en el cual C = 6; A = 4 y b = 50°.
Sea el triángulo:
De esto se obtiene: Cos c = 0,031522; o sea que c = Arc Cos 0,031522 = 88° 11’ 37”.
Finalmente, a = 180° − 50°− 88° 11’ 37” = 41° 48’ 23”, con lo cual queda resuelto el triángulo.
Casos fundamentales de resolución de triángulos.
Para resolver un triángulo oblicuángulo, se tiene los siguientes casos que frecuentemente se dan:
- Dados dos ángulos y un lado.
- Dados dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.
- Dados dos lados y el ángulo comprendido.
- Dados los tres lados.
Para los dos primeros casos, el primer paso dentro de la resolución consiste en utilizar la Ley de los Senos, luego la misma o la Ley de los Cosenos.
- En los dos casos restantes se emplea como primer paso, el uso de la Ley de los Cosenos, luego la misma o la Ley de los Senos.
El segundo caso requiere, antes de proceder a resolver el triángulo, ver si tiene dos soluciones, ninguna solución o una solución, considerando el siguiente recurso analítico previo:
Hay dos soluciones si el ángulo dado es agudo y el lado opuesto está comprendido entre el otro y el producto de éste (otro) por el seno del ángulo conocido.
Ninguna solución si el ángulo dado es agudo y el lado opuesto menor que el producto citado en el punto anterior o si el ángulo es obtuso y el lado opuesto menor o igual que el otro.
Una solución en los casos que no encuadran con los dos citados.
- Si A = 40°, b=12 y a = 7,71, entonces tiene una solución ya que: a=CSenA.
- Si A= 40°, b= 12 y a = 4, entonces no tiene ninguna solución ya que: a〈cSenA
- Si A = 40°, b= 12 y a = 10, entonces tiene dos soluciones ya que: bSenA〈a〈b
- Si A = 114°, b = 12 y a = 9, entonces no tiene ninguna solución ya que: a〈by el ángulo A es obtuso.
La aplicación de estas leyes o de la resolución de triángulos, se la hace mediante la solución de problemas de diferente índole. Ud. encontrará en esta sección varios ejercicios tipos planteados y resueltos.
Capitulo 9: SISTEMAS DE ECUACIONES
En muchas ocasiones se requiere trabajar con mas de una ecuación en forma simultánea, es decir con sistemas de ecuaciones con diversas variables. En este capítulo se estudiarán varios métodos para hallar las soluciones a estos sistemas de ecuaciones.
SISTEMA DE ECUACIONES
- Lea los contenidos de las páginas 636 a 642.
Decimos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para los cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables es una pareja ordenada de números reales que hace ambas ecuaciones sean verdaderas. Como la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones, decimos que tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas. Cuando encontramos todas las soluciones de un sistema, decimos que hemos resuelto el sistema.
Generalmente se usan llaves para indicar que el sistema debe tratarse en forma simultánea. Ejemplo:
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones. En las páginas citadas al inicio del subcapítulo encontrará las guías para resolver, así como ejercicios resueltos para su análisis y comprensión.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES.
- Lea los contenidos de las páginas 646 a 651.
Una ecuación de la forma ax+by=c decimos que es una ecuación lineal en dos variables x y y. También se pueden considerar ecuaciones lineales con más de dos variables. En esta parte solamente estudiaremos a los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
Para resolver un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de sistemas equivalentes, el mimo que lo tenemos explicado en la página 646 de su libro guía.
Revise los ejercicios resueltos que se plantean en las páginas subsiguientes a la citada en el párrafo anterior.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON MAS DE DOS VARIABLES.
- Lea los contenidos de las páginas 672 a 685.
La solución por el método de eliminación de un sistema de ecuaciones lineales con más de dos variables lleva a la técnica de matrices para la solución de estos sistemas.
Podemos obtener un arreglo con los coeficientes de las variables y los términos independientes de la siguiente manera: (Es de notar que las variables están ordenadas en cada una de las ecuaciones y los términos independientes estén a la derecha del igual)
- Un ordenamiento de este tipo se llama matriz.
- La matriz anteriormente obtenida del sistema se denomina matriz del sistema o matriz aumentada. Si borramos la última columna, la matriz restante se denomina matriz de coeficientes.
DEFINICIÓN DE MATRIZ
- Se Llama matriz a un arreglo rectangular de números o letras dispuestos en filas y columnas.
Otros ejemplos:
- Los renglones o filas son los números o letras que aparecen uno a continuación de otro en sentido horizontal (a, d, g en la primera matriz).
- Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical (a, b, c, en la primera matriz)
- En la segunda matriz se muestra la notación general con m filas y n columnas.
- El nombre de la matriz se escribe con mayúscula y el de los elementos con minúscula, en la forma aij en donde i, j representan la posición que ocupa el elemento en fila (i) y columna (j), por ejemplo si se plantea hallar a32. Significa que hay que considerar el elemento de la matriz ubicado en la fila 3 y columna 2.
- Con las filas de una matriz se pueden hacer operaciones de transformación, utilizando el teorema sobre transformaciones de renglones de matrices (página 665 del libro guía).
- La relación mxn se denomina orden o tamaño de la matriz. Cuando se cumple que m = n, es decir el número de filas igual al número de columnas, la matriz se dice que es cuadrada de orden n. La primera expuesta anteriormente es un ejemplo de matriz cuadrada.
- En una matriz cuadrada, al considerar el cuadrado que la comprende, la diagonal que tiene como inclinación un ángulo obtuso se llama principal y aquella que forma ángulo agudo se llama secundaria. Por ejemplo, en la matriz A de referencia, los elementos a, e, i corresponden a la diagonal principal y los elementos c, e, g, corresponden a la diagonal secundaria.
Dada una matriz cuadrada, si todos los elementos son cero, excepto los de la diagonal principal, y si éstos son 1, la matriz se denomina matriz identidad. La matriz identidad se representa por I. Veamos el siguiente ejemplo de matriz identidad.
Matriz escalonada.- Se llama así a la matriz en la cual el número de ceros iniciales de una fila es menor al número de ceros iniciales de la siguiente. Ejemplos:
Matriz escalonada reducida.- Es una matriz escalonada en la cual el único elemento diferente de cero en cada fila y columna es 1.
Para obtener la matriz escalonada es necesario seguir la guía para hallar la forma escalonada de una matriz, expuesta en la página 677.
En las páginas subsiguientes a la 677, encontrará varios ejercicios resueltos y explicados para su análisis y comprensión.
Igualdad de matrices.- Dos o más matrices son iguales cuando tienen iguales los correspondientes elementos: es decir, si 
entonces A=B, si y sólo si, Ejemplo: Sean las matrices,
Como cada elemento de A es correspondientemente igual a cada elemento de B, se cumple que A = B, estrictamente.
ÁLGEBRA DE MATRICES
- Lea los contenidos de las páginas 688 a 696.
- Con las matrices se pueden desarrollar las siguientes operaciones:
Suma.- Para sumar dos matrices, o más, en primera instancia éstas deben tener igual orden, luego se suman respectivamente los elementos de cada una de ellas, dando lugar a otra matriz de igual orden.
Ejemplo. Sumar las matrices A y B, siguientes:
Su suma es
</p> Cuando todos los elementos de una matriz son 0, la matriz se denomina nula y constituye el elemento neutro en la suma de matrices.
Matriz inversa aditiva.- Una matriz se dice que es inversa aditiva, cuando sus elementos, con respecto de los de otra de igual orden, tomada como referencia son de igual valor absoluto, correspondientemente, pero de signo contrario. Para una matriz A, dada, su inversa aditiva se representa por −A()y, en general se representan por:
Propiedades de la suma de matrices.- La adición de matrices cumple con las siguientes propiedades:
1. Clausurativa.- La suma de dos matrices de igual orden da como resultado otra matriz de igual orden: A + B = C.
2. Asociativa.- Al sumar matrices de igual orden se obtiene el mismo resultado, cualquiera sea el orden en que la matrices se agrupen: (A + B) + C = A + (B + C).
3. Del elemento neutro.- Cualquier matriz de orden mxn sumada con la matriz nula de orden mxn, no altera, es decir se obtiene la misma matriz: A+0 = A = 0+A.
4. Del inverso aditivo.- Para cada matriz A de orden mxn, existe una matriz −A() de igual orden tal que, sumadas mutuamente dan como resultado el elemento neutro o la matriz nula de orden mxn: A+−A()=0=−A()+A
5. Conmutativa.- La suma de dos matrices en un orden determinado no altera si se altera el orden en que se consideren las matrices para ejecutar la suma respectiva: A + B = B + A
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.
Al multiplicar un escalar por una matriz se obtiene otra matriz cuyos elementos, cada uno, es igual al producto del escalar por los elementos correspondientes de la matriz de referencia. Así, simbólicamente se representa por:
El producto de A por k se representa y ejecuta así:
En el producto de un escalar por una matriz se verifican las siguientes propiedades:
PRODUCTO DE MATRICES.
Para saber si con dos matrices de referencia es posible hallar el producto, en primera instancia hay que verificar que el número de filas de la matriz que constituye el primer factor sea igual al número de columnas de aquellas que representa el segundo factor, luego se multiplica cada elemento de cada fila de la primera matriz correspondientemente por el elemento de la columna de la segunda matriz y luego se suman estos resultados, obteniéndose la matriz resultante. En la siguiente ilustración se simboliza el proceso de una mejor forma, empleando la matriz A de orden 3x4 y la matriz B de orden 4x3:
Dadas las matrices
Entonces:
PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL
En el producto matricial se verifican las siguientes leyes:
1. A. B=C Cerradura.
2. (A.B)C=A(B.C).
3. I.A=A.I=A
4. (A+B)C=CA+CB
MATRIZ TRANSPUESTA.
Para poder evaluar este tipo de matriz, hay que tener otra de referencia, por ejemplo A, de orden mxn, entonces la transpuesta de la matriz A se representa por 
y es una matriz que resulta de intercambiar las filas por las columnas en la matriz A dada. Ejemplo:
Sea la matriz:
La transpuesta de una matriz tiene orden invertido a la matriz referencial y verifica las siguientes propiedades:
1. La transpuesta de la transpuesta de cualquier matriz es una matriz: 
2. La transpuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las transpuestas de las matrices de referencia:
3. La transpuesta del producto de un escalar por una matriz es igual al escalar por la transpuesta de la matriz:
4. La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las transpuestas de las matrices, pero en orden inverso:
INVERSA DE UNA MATRIZ.
- Lea los contenidos de las páginas 698 a 702.
La inversa de una matriz solo se puede determinar cuando es cuadrada y, para una de referencia A, se representa por 
. El proceso para encontrar la inversa de una matriz, consiste en lo siguiente:
Sea la matriz cuadrada: 
Como dos matrices son iguales si y solo si, sus elementos en las mismas posiciones son iguales, tenemos:
v−x=1w−y=0
2x=0→x=0
Por consiguiente:
Comprobamos, multiplicando:
Aplicaciones
El conocimiento de las matrices permite resolver sistemas de ecuaciones lineales, para lo cual es posible colocar a un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial, considerando los siguientes casos:
Sea el sistema:
Entonces:
Que es la notación matricial respectiva.
La matriz siguiente es la de los coeficientes
La matriz presentada enseguida es de variables:
La matriz siguiente es de los términos independientes:
La matriz
Extraída del sistema de referencia, se denomina matriz aumentada y es aquella de la que se parte para emprender la resolución correspondiente como vamos a ver a continuación.
Resolver el sistema: 
La matriz de los coeficientes es 
Hallando su inversa se tiene: 
Entonces, mediante 
, tenemos que
Por consiguiente, x = − 1 y y = 2
- Analice y comprenda el ejercicio 3 resuelto de la página 702.
DETERMINANTES.
- Lea los contenidos de las páginas 704 a 709.
Dada una matriz cuadrada A de referencia, el determinante respectivo se representa por detA ó d(A) ó |A| y, considerando los elementos de la matriz se estructura de las formas que seguidamente se indica, según el orden. Veamos:
a. Determinante de segundo orden.
Si 
el determinante correspondiente se representa por 
y se
Define como 
b. Para el determinante de tercer orden. Se utiliza una regla muy común conocida como regla de Sarrus, que consiste en añadir las dos primeras columnas a la derecha de la última columna del determinante dado o las dos primeras filas debajo de las tres primeras, luego se emplea los productos que se indican en cada caso veamos:
- Añadiendo las dos primeras columnas:
Ejemplo:
- Calculemos el determinante de
volviendo a escribir las dos primeras columnas.
(Tenga cuidado, ya que este procedimiento no funciona con determinantes de orden superior).
Para hallar el determinante de una matriz cuadrada de orden mayor a 3, se emplean los conceptos de menores y cofactores, mismos que se explican en las páginas 705 a 708.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
- Lea los contenidos de las páginas 711 a 717.
Cuando las matrices son de orden superior a 3 y si aplicamos el procedimiento explicado en el inciso anterior, las operaciones se hacen muy largas, por eso para hallar estos determinantes se aplican las propiedades de los determinantes, explicadas en su texto y que se amplían a continuación:
Los determinantes verifican las siguientes propiedades:
1. Al intercambiar las filas con las columnas, el determinante no altera.
2. Al intercambiar dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
3. Si en un determinante dos filas o columnas son iguales, su valor es cero.
4. Si a todos los elementos de la fila o columna de un determinante se los multiplica por un mismo número real, el determinante queda multiplicado por dicho número.
5. Si los elementos de una fila o columna de un determinante son múltiplos de los correspondientes de otra fila o columna, el determinante es nulo.
6. Si en un determinante una fila o columna los elementos son cero, dicho determinante es nulo.
7. Al multiplicar los elementos de una fila o columna de un determinante por un mismo número y sumar los productos a los elementos correspondientes de otra fila o columna, el determinante no altera.
Aplicaciones.
La aplicación inmediata del conocimiento referente a los determinantes es el de poder resolver sistemas de ecuaciones, como se explica seguidamente:
a. Para sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo explicaremos con el siguiente ejercicio:
- Resolver el siguiente sistema:
- Solucion:
b. Para sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
- Supóngase que tenemos el siguiente sistema general con solución única.
- Se puede demostrar que la solución única a este sistema es el siguiente:
Donde
El procedimiento explicado anteriormente se denomina Regla de Cramer y se puede extender a sistemas de n ecuaciones con n variables. Su forma general sería:
Analice los ejercicios resueltos de las páginas 713 a 717.
Capitulo 10 SUCESIONES, SERIES Y PROBABILIDAD
SUCECIONES INFINITAS Y NOTACION DE SUMATORIA
- Lea los contenidos de las páginas 732 a 745
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos consecutivos, de tal manera que al número que le corresponda el número 1 es el primer elemento, al que le corresponda el número 2 es el segundo elemento y así sucesivamente. En síntesis la característica fundamental de una sucesión es que al estar ordenados sus elementos, existe un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, etc. A demás hay que anotar que los elementos de una sucesión pueden ser de cualquier naturaleza, pero a nosotros nos interesan particularmente las secesiones numéricas, es decir aquellas en las que sus elementos son números reales.
Una sucesión se representa mediante una letra cualquiera afectada de subíndices, así por ejemplo:
En donde el subíndice nos indica el ordinal del término, es importante indicar que 
que es el término n-ésimo o término general, representa cualquier término de la sucesión. Una sucesión puede ser infinita cuando tiene un número ilimitado de elementos; una sucesión es finita cuando tiene un número limitado de elementos.
Una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión y puede ser: finita o infinita según la sucesión sea respectivamente finita o infinita.
Sea la sucesión: 
, la serie correspondiente Sn es:
Son ejemplos de sucesiones los siguientes:
1. Los números naturales pares: 2, 4, 6, 8,.... cuya forma generatriz es 2n, con n natural.
2. Los enteros cuadrados perfectos: 0,1, 4, 9, 25,... que se obtienen haciendo 
, con a un entero cualesquiera.
3. Los números naturales: 0,1, 2, 3, 4,...
4. Los múltiplos de 5: 0, 5,10, 15,...
Con frecuencia el número de sumandos de una serie puede ser grande, por lo tanto puede ser engorrosa su escritura, por esta razón es necesario disponer de una notación que nos permita simplificar al máximo la representación de una serie, y, ésta es la notación sumatoria o notación sigma así: 
que se lee: suma de las ai desde i = 1 hasta n. Por lo tanto:
Es necesario indicar que una suma no necesariamente debe empezar desde i=1 y terminar en n, además el índice de la sumatoria i(), no necesariamente debe ser i, sino cualquier otra letra a su elección, aunque en la practica las más usadas son; i, j, k.
Ejemplo calcular el valor de la serie 
En este caso escribimos la serie reemplazando en el término general la j por los números desde el 1 hasta el 5, así:
Existen teoremas de sumatorias que nos permiten simplificar los cálculos. Estos teoremas los tiene explicados en la página 742.
SUCESIONES ARITMÉTICAS.
- Lea los contenidos de las páginas 748 a 752.
Cuando cada elemento de estas sucesiones, a partir del primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante conocida como diferencia. Ejemplos:
4, 10, 16, 22,..
1, 12, 23, 34, 45,..
5, 7, 9, 11, 13,..
En este tipo de progresión, se manejan las siguientes fórmulas básicas de interrelación entre sus elementos:
Para el cálculo del último término u(), se tiene u=a+n−1()d en la cual u es el último término, a el primero, n el término que se desea obtener y d la diferencia o constante que se añade consecutivamente dentro de la progresión para conocer los elementos que la forman hasta donde se estime conveniente o necesario.
Por ejemplo, el término 45 de la progresión, 7, 11, 15,... es: con d=15−11=4, u=7+45−1()4=183
NOTA
Cuando se conocen los elementos de la progresión aritmética la diferencia d se halla restando a cualquier término de ella, el anterior.
Para la Suma de los términos de una progresión aritmética se tiene 
Por ejemplo, en la progresión 17, 30, 43, 56, 69, 82, 95,108, la suma de este conjunto de términos es 
EJERCICIO:
Construir la progresión cuyo primero y último término son respectivamente, 9 y 45, de manera que entre estos extremos hayan 8 términos interpolados.
Solución.:
Como entre 9 y 45 deben haber 8 términos, con ellos, en total, habrán 10, luego n = 10, con lo cual u=a+n−1()d se puede escribir como: 45=9+10−1()d, o sea 36=9d, resultando que d = 4, con lo cual la progresión consta de los elementos: 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45.
SUCESIONES GEOMÉTRICAS.
- Lea los contenidos de las páginas 755 a 761.
Una sucesión es geométrica cuando cada elemento de la sucesión, a partir del primero, se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante conocida como razón (r).
EJEMPLOS:
En este tipo de progresión, son importantes las siguientes fórmulas básicas de interrelación entre los elementos de estas progresiones:
La obtención del último término u , se logra empleando la ecuación 
, en la cual ues el último término, a el primero, n el término que se desea obtener y r la razón o factor constante, por el cual se multiplican consecutivamente los elementos de la progresión para consolidarla integralmente.
Por ejemplo, el término 5 de la progresión, 4, 2, 1,... es: con 
Cuando se conocen los elementos de la progresión geométrica, la razón se halla dividiendo cualquier término de ella, por el anterior.
La Suma de los términos de una progresión geométrica se halla usando la relación
Un ejemplo ilustrativo es: sea la progresión 81, 27, 9, 3, 1,1/3, entonces la suma de este conjunto de términos es:
EJERCICIO:
Hallar los términos extremos de la progresión geométrica cuya razón es 2, tiene 8 términos que suman 765. Construir la progresión.
Solución:
Las definiciones, deducción de fórmulas y ejercicios resueltos para su mejor compresión están contenidos en las páginas 758 a 761
EL TEOREMA DEL BINOMIO
Lea los contenidos de las páginas 771 a 778.
EXPONENTES.
Cuando 
se extiende para un entero positivo arbitrario n, los exponentes de a y b siguen un patrón definido. Por ejemplo, de 
en forma triangular
Observe que cada número del interior de este esquema es la suma de de los números que se hallan directamente encima de el. Así, el siguiente renglón esquema se puede obtener como sigue:
Como se espera, estos números son los coeficientes de a y b en el desarrollo de 
que es:
El esquema que se tiene continuando de esta manera se conoce como el triángulo de Pascal.
NOTACIÓN FACTORIAL.
Antes de revisar la fórmula general para el desarrollo de , será necesario introducir la notación factorial.
El símbolo r! se define para cualquier entero positivo como el producto
y se lee “r factorial”. Por ejemplo:
El teorema del binomio tiene como esquema simbólico la siguiente expresión:
De esta expresión, la relación:
Sirve para calcular un término cualesquiera (término n-ésimo) del desarrollo . En la descrita fórmula, n representa el exponente al que se eleva un binomio y r es el término que se desea encontrar.
Seguidamente adjunto los siguientes criterios complementarios para su efectiva comprensión, así:
EJEMPLOS:
- Más aplicaciones y ejercicios desarrollados usted los encontrará en su libro en las páginas 771 a 778.
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
El estudio de las permutaciones y combinaciones es de importancia trascendente y repercute en la práctica cotidiana de diversa forma, incluso en asuntos muy triviales como es el caso de estar en una reunión y requerir de alguna disposición u organización específica de sus miembros. En juegos de azar y otros tiene también aplicación. En computación, este es el mecanismo en que se desarrollan infinitas operaciones lógicas para obtener respuesta en tiempos muy pequeños.
PERMUTACIONES.
- Lea los contenidos de las páginas 780 a 785.
Dado un conjunto A de referencia, se llama permutación a la lista de todas las diferentes maneras de ordenar los elementos de dicho conjunto. Suponiendo que el conjunto dispone de n elementos, la permutación se dice de n elementos.
El término permutación en álgebra, no se deslinda de su significado habitual, cambiar y efectivamente las permutaciones de los elementos de un conjunto no es otra cosa que la colección de cambios que se puede hacer con dichos elementos.
Ejemplificando esta situación se puede decir que:
Una permutación es la forma de organizar los elementos, o parte de ellos, de un conjunto, teniendo en cuenta el orden y que no haya repeticiones.
EJEMPLOS.
- Si en un conjunto hay tres elementos distintos, a, b, c, el número de cambios es 6, pues se tiene abe, acb, cab, cba, bca, bac.
- Si son 4, se tiene 24 permutaciones.
- Si son 5, se tiene 120 permutaciones y así sucesivamente.
- Si se tiene n elementos, hay n! Permutaciones.
Cuando ciertos elementos se repiten, el número de permutaciones disminuye, así:
- Si de tres elementos, 2 se repiten, entonces hay 3 cambios.
- Si de 4 elementos, se repiten 3, se tiene 4 permutaciones.
- Si de 4 elementos, se repiten 2, se tiene 12 permutaciones, etc.
OTROS EJEMPLOS:
1. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar a partir de las ocho primeras consonantes del alfabeto si no se repite letra alguna?
- Solución: 8.7.6 = 336.
2. Una prueba consta de 8 preguntas de opción múltiple y para cada una hay 3 opciones. Para elegir la respuesta. ¿De cuántas maneras se puede contestar?
- Solución: nP = 38 = 6561
3. ¿Cuántos números pares de cuatro dígitos se pueden formar utilizando el 7, el 6, el 4 y el 2?
- Solución: Se pueden formar: 4.4.4.3 = 192
4. Si Stanley, que trabaja en el cuerpo de señales, tiene 8 banderas diferentes, ¿Cuántas señales puede formar colocando las banderas en un asta-bandera?
- Solución: Puede formar 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320 señales.
5. Muestre que la siguiente afirmación es válida: 
- Solucion:
PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS TOMADOS r A LA VEZ.
Este caso se da cuando si se tienen n elementos, se requiere arreglar un número de ellos inferior al que se tiene. Por ejemplo si se tiene un grupo de 10 asientos en una sala y se desea que se sienten 10 de 14 personas, entonces el número de maneras cómo lo pueden hacer es:
Una definición alternativa de 
EJEMPLO.
Halle: P5,2()
Solución:
PERMUTACIONES DISTINGUIBLES.
Son aquellas que se dan cuando trabajamos con elementos de similar naturaleza, por ejemplo solo letras, de las cuales dos o más de ellas tienen la misma apariencia por que se repiten.
Para encontrar el número de permutaciones distinguibles, utilizamos el teorema:
”Si en un conjunto de n objetos r de ellos son iguales y si los objetos restantes son distintos entre sí y de los r objetos, la cantidad de permutaciones distinguibles de n objetos es 
"
De otra forma, el número de formas cómo se las puede disponer es: 
Por ejemplo:
De cuántas maneras se pueden disponer las letras de la palabra “palabra”.
Solución: La letra a se repite 3 veces, entonces: 
COMBINACIONES.
Cuando de un conjunto de n elementos, se toma un subconjunto de m elementos, dicho subconjunto se llama combinación de n elementos tomados m a la vez.
Podemos decir que una combinación es la forma de organizar los elementos, o parte de ellos, de un conjunto, sin repetición, en cualquier orden. Se calcula con:
En símbolos se expresa por: Cn,m()
Así, para:
- Revise los ejercicios resueltos presentados por el autor en las páginas 780 y 781.
PROBABILIDAD.
- Lea los contenidos de las páginas 796 a 805.
Es probable, decimos a menudo, en nuestro diario encuentro con los demás y con la realidad. Con esto queremos decir que es posible que suceda, pero no necesariamente algo, quedando de esta forma, la opción de que se de o no un evento específico.
Si consideramos 1 como la máxima posibilidad de ocurrencia y 0 la mínima, la opción oscila dentro de este margen o intervalo; luego, si la posibilidad de ocurrencia es p, entonces 1 - p será aquella de que no ocurra. Este es el lenguaje en el que se habla en probabilidades y queremos que Usted tenga la noción clara acerca de lo que constituyen las probabilidades dado que dentro del campo científico, especialmente en el análisis estadístico es muy importante así como lo es en la interpretación de tantos acontecimientos cotidianos, dentro de los cuales se inscriben los de diversión.
Estudiemos prolijamente los problemas resueltos, como orientación, poniendo atención en los criterios que justifican cada razonamiento ejecutado para la ulterior aplicación en la ejercitación individual. El lenguaje de las probabilidades manipula un conjunto de términos de los cuales es necesario tener bien claro su significado. Estos términos son aquellos que se refieren a:
Experimento.- Es una actividad a través de la cual se examina una situación determinada reiterándola un número de veces conveniente y adecuado y en circunstancias precisamente controladas para ejecutar la evaluación del acontecimiento que involucra de la mejor forma posible.
Resultado del experimento.- Es el conjunto de datos cualitativos o cuantitativos que surgen de la observación y medición paulatina de cada situación de interés dentro del experimento y que es aquello que justamente se busca.
Espacio muestral.- Se denomina al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o ensayo específico realizado con un determinado fin. Así, si de un curso de 30 alumnos se desea seleccionar a un grupo de ellos, los 30 representan el espacio muestral y cualquiera de ellos puede ser tomado en cuenta.
Evento.- Es un subconjunto del espacio muestral y que está íntimamente vinculado son el ensayo o experimento en consideración. El evento, significa una muestra.
Probabilidad.- Se llama así a aquel indicador numérico cuyo valor pone en evidencia el grado o nivel de posibilidades de que un acontecimiento suceda. Si este valor se acerca a cero, la opción de que acontezca dista mucho de que se haga efectivamente realidad, mientas que a medida que se acerca a 1 el que ocurra el acontecimiento de interés es mucho más confiable y esperanzador. La probabilidad de algo suceda se calcula con la relación 
