Àlgebra
De Computacion
El avance de la ciencia y la tecnología, está ligado a la evolución y desarrollo de la matemática. No existe parte de las matemáticas que no esté vinculada con otras ciencias. No pueden estar aislados dentro de un contenido específico los diferentes temas matemáticos, caracterizados por su unidad y coherencia. Siendo las matemáticas una ciencia formal de aplicación técnica, es necesario introducir una terminología que comprende elementos que en su mayoría nos son familiares. Cada uno de estos términos encierra una idea importante y requiere una definición. El Álgebra tiene un lenguaje estrictamente simbólico-literal, al relacionar números y letras en combinación armónica a través del conjunto básico de operaciones aritméticas. Esta generalidad instaurada al estudio de las cantidades reviste una suma importancia para el futuro profesional, ya que como una labor que se desarrolla dentro de un ambiente de importante dinámica, la comprensión, análisis, estudio e investigación del entorno y su multiplicidad fenomenológica, implican un conocimiento serio y profundo de las interconexiones matemáticas que incluyen, y que son una necesidad del conocimiento que debe existir en el estudioso de la computación. Es nuestra aspiración que esta asignatura contribuya exitosamente dentro del proceso del pensar matemático, mostrándole plenamente que su conocimiento y dominio son pieza clave dentro de la comprensión del mundo y la realidad. Esta Asignatura le introducirá en el campo de la matemática y pretende que usted adquiera los conocimientos y comprenda las razones fundamentales de los procesos matemáticos para su posterior aplicación en el Cálculo. La materia de Algebra está programada en el Primer Ciclo de la Carrera de Ingeniería en Informática y comprende el estudio de diez capítulos a saber: Conceptos fundamentales del algebra, Ecuaciones y desigualdades, Teoría de funciones y gráficas, Funciones polinomiales y racionales, Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones trigonométricas de números reales, Trigonometría analítica, Aplicaciones de la trigonometría, Matrices y determinantes, Sucesiones series y probabilidad. Para desarrollar este curso de Álgebra de la manera más provechosa es necesario que siga las siguientes referencias:
- Poner entusiasmo, voluntad y fe para emprender una actuación encaminada a conseguir el progreso y formación integral con mucho empeño y motivación.
- Cumplir con los requerimientos básicos de interacción dirigidos a lograr los objetivos y metas establecidas.
- Contribuir en la búsqueda e investigación de las formas de aplicación de los conocimientos en la solución de problemas relacionados con la práctica cotidiana.
- Preocuparse por adquirir una disciplina de trabajo ajustada al tiempo disponible, en un ambiente de organización y armonía, que lo conduzcan ha desarrollar las auto evaluaciones y ejercitación complementaria con el fin de que cuando tenga que asistir a las evaluaciones presénciales lo haga con seguridad, mucho provecho y solvencia que serán los mejores estímulos para su bienestar y provecho.
- Manejar dispositivos electrónicos elementales de cálculo.
- Interactuando con su Profesor a través del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA), herramienta que está a su disposición todo el tiempo
[editar] Objetivos Generales
- Identificar y manejar las leyes y los símbolos algebraicos con el objeto de aplicarlos en los diferentes tópicos que involucran el estudio de las matemáticas.
- Resolver ecuaciones, desigualdades y problemas que implican la aplicación de ecuaciones de primero, segundo y grados superiores.
- Comprender y aplicar el lenguaje de las funciones y desarrollar técnicas para caracterizarlas, determinar sus elementos, combinarlas a través de operaciones aritméticas y graficarlas.
- Manejar, operar y aplicar matrices y determinantes.
- Definir, aplicar y graficar las funciones trigonométricas fundamentales y establecer las relaciones de equivalencia básicas para efectos de sustitución y aplicación.
- Caracterizar la naturaleza y estructura de las progresiones, destacando su importancia dentro del estudio de las sucesiones y series.
- Proponer aplicaciones prácticas de los conocimientos adquiridos, dentro del campo de la Computación.
[editar] Objetivos Especificos
1. Identificar y manejar los símbolos algebraicos con el objeto de modificar y resolver ecuaciones algebraicas, desigualdades lineales y no lineales. 2. Resolver ecuaciones y problemas que implican ecuaciones de primer grado. 3. Comprender y explicar las características de las funciones cuadráticas; resolver ejercicios y problemas de aplicación. 5. Comprender y aplicar el lenguaje de las funciones y desarrollar técnicas para caracterizarlas, determinar sus elementos, combinarlas a través de operaciones aritméticas y graficarlas. 6. Definir, analizar y aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas. 7. Definir, aplicar y graficar las funciones trigonométricas fundamentales y establecer las relaciones de equivalencia básicas para efectos de sustitución y aplicación; y, graficar expresiones que contengan funciones trigonométricas de ángulos simples y compuestos. 8. Conocer y aplicar las Matrices y determinantes. 9. Utilizar correctamente el teorema del binomio en el desarrollo de potencias de la suma y diferencia de dos cantidades tanto con exponentes positivos como negativos. 10. Caracterizar la naturaleza y estructura de las progresiones, destacando su importancia dentro del estudio de las sucesiones y series. 11. Proponer aplicaciones prácticas de los conocimientos adquiridos, dentro del campo de la Computación.
[editar] Bibliografía
Texto Básico SWOKOWSKI, Earl W. y JEFFERY A. Cole , ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, Décima Edición, Editorial Thomson Learning, Inc. 2006. Texto escogido para la asignatura y cuya manipulación es cómoda, fácil y está en concordancia con el conjunto de contenidos previsto para el curso. Cada tema se desarrolla con un nivel conveniente de análisis, situación que le brindará ayuda especial. Además con el texto se incluye un CD interactivo que le servirá de mucho apoyo y sobretodo para sus autoevaluaciones. Textos complementarios Además del Texto Guía usted puede consultar las siguientes Obras, con la finalidad de enriquecer y reforzar los conocimientos que va adquiriendo. LARSON Ronald, HOSTETLER Roberto, Algebra Intermedia, Segunda Edición Mcgraw-Hill, Interamericana de México, S.A. de C.V, México, 2000. REES P., SPARKS F., REES CH.- Algebra, Décima Edición, Colección Mcgraw-Hill Interamericana de México, S.A., México, 1997. LARA J., ARROBA J., Análisis Matemático, Centro de Matemática de la Universidad Central del Ecuador, Quito 1987. Otros textos de Álgebra básica Trigonometría, etc. de los que disponga en su biblioteca particular u otros textos de análisis matemático, pues en ellos existe amplia información, especialmente de Teoría de Funciones. Direcciones de internet. http:/www.mathematics.bookscole.com http:/www.univie.ac.at/future.media/moe/
[editar] Desarrollo del Aprendizaje
[editar] Capitulo1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA
Este capítulo pretende que usted despeje las dificultades que encuentre en el estudio del Álgebra. Las dificultades se presentan por una falta de comprensión de los principios fundamentales en los que se apoyan las reglas del cálculo algebraico y de la práctica ordenada y sistemática de dichos principios. Todas las operaciones del cálculo algebraico por complicadas que sean, no son más que el resultado de una aplicación combinada de las leyes formales de las operaciones fundamentales de la aritmética. Es también importante indicar que, a más del conocimiento de las leyes formales del cálculo algebraico y de la habilidad para manejarlos, es necesaria una práctica abundante ordenada y sistemática que le proporcione agilidad, destreza y seguridad en los procesos.
[editar] SISTEMA DE NÚMEROS REALES.
Es muy importante su conocimiento, pues son los elementos con los cuales se trabajará en adelante. En el álgebra de los números reales se encuentran las razones fundamentales de las transformaciones algebraicas, ya sea con expresiones racionales o irracionales. Es importante el conocimiento del conjunto de los números reales y sus subconjuntos, así como las propiedades que los rigen. Lea los contenidos expuestos en el libro guía correspondiente a este subcapítulo, los mismos que están comprendidos de la página 2 a la página 8. A continuación definiremos los subconjuntos de este importante conjunto universo.
- Naturales.
- Se designan por N (N = {0, 1, 2, 3, 4, .....} y constituye aquel conjunto de números que sirven para contar, habiendo sido este su origen específico. Estos números han servido de base para la estructuración de los demás.
- Enteros.
- Es aquel conjunto de números cuya raíz está en los números naturales, mismos que al no evidenciar la ley de cerradura en la resta, imprimieron la necesidad de crear un conjunto complementario de números constituido por los negativos de valor absoluto natural, los cuales unidos forman un solo al cual se le conoce como el conjunto de números enteros. A este conjunto se lo designa por Z y es igual a Z = { .... −3, −2, −1, ,0, 1, 2, 3, 4,......}.
- Racionales.
- Este conjunto surgió como consecuencia de la no clausuratividad de los enteros por la división (por ejemplo 1/2) que tiene un resultado no entero, de donde apareció el conjunto de números que comprende este caso fundamental al que se denominó números racionales, designándolo con la letra Q, y simbólicamente se define: Q = {a/b: a∈Z, b∈Z y b ≠ 0}. Dentro de este conjunto están los decimales simples y decimales periódicos. Son ejemplo de números racionales: ½, ¾, −4, 0, 1.3333, 0.25.
- Números irracionales.
- Se representan simbólicamente por Q’, es porque constituyen el complemento de los números racionales y que incluyen, justamente aquellos decimales o números que no pueden expresarse, de ninguna manera como una fracción o un número racional, como por ejemplo: la raíz cuadrada de los números primos, el valor de Pi (π), etc. Este tipo de números se conocen como números inconmensurables dado de que de ellos solamente se puede dar una aproximación, pero no el valor que efectivamente ellos representan.
- Números reales.
- Este sistema numérico constituye una base especial para el análisis e interpretación de multiplicidad de hechos, fenómenos y actividades prácticas, la ciencia o la tecnología. Este conjunto esta constituido por la unión de los números racionales (que comprenden los números naturales, los números enteros, los números fraccionarios) y los irracionales, es decir R = Q ∪ Q´. (Para su mejor comprensión analice detenidamente el diagrama de flujo presentado en la página 3 de su libro guía.)
[editar] RECTA DE NÚMEROS REALES
Podemos representar geométricamente al conjunto de los números reales asociándolos con los puntos de una línea recta, para dar lugar a la llamada recta numérica real, la cual nos permite visualizar propiedades muy importantes de este conjunto. Analice los contenidos de la página 9 de su libro.
- Existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta.
- A la derecha del origen (0) se encuentran los números reales positivos y a la izquierda los números reales negativos.
- Cualquier número real es menor que los que están a su derecha y mayor que los que están a su izquierda.
- Los números reales sobre la recta se encuentran ordenados de izquierda a derecha de menor a mayor.
Revise los contenidos de las páginas 8 a la 11.
- Valor absoluto.- El valor absoluto de un número, representado por el símbolo x representa la distancia no dirigida de cualquier punto de la recta numérica hasta el 0 u origen de la misma. Una distancia siempre es positiva por lo que el valor absoluto de cualquier número siempre será positivo. En las páginas 12, 13 y 14 del texto encontrará la definición, propiedades y ejemplos del valor absoluto.
- Notación científica.- La notación científica es una forma muy conveniente de escribir números sumamente grandes o sumamente pequeños, y al mismo tiempo permite comparar fácilmente estas grandes o pequeñas magnitudes. Constituye una aplicación de las leyes de los exponentes (las cuales se ampliarán mas adelante). En las páginas 14 y 15 encontrará una amplia explicación acompañada con ejemplos; así como la forma de resolución con calculadora. Revíselos detenidamente y fíjese como el autor los resuelve.
Es necesario recordarle que para que un número este expresado en notación científica debe tener la forma 
donde a debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10, n es un número entero. Ejemplo: Si queremos expresar el número 0,0000567 en notación científica tendría que estar de esta forma: 
si se lo escribe de las siguientes formas estaría mal escrito:
<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2 } </math>
<math>a x 10^n</math>
[editar] EXPONENTES Y RADICALES.
Lea los contenidos de las páginas 19 a la 29.
- Exponentes enteros.-
La potenciación como sabemos resulta del producto de factores repetidos, así tenemos por ejemplo que 5.5.5.5. Se escribe simplemente 
, en este caso 5 es la base y 4 es el exponente. Quizá lo más importante de esta operación son las leyes, puesto que ellas nos van a permitir manejar los exponentes y utilizarlos en la transformación de expresiones que contienen potencias. En la página 20 encontrará las leyes, acompañadas de una serie de ejercicios explicativos y en la 22 un teorema sobre exponentes negativos. Ponga mucha atención a este teorema.
- En la operación de potenciación, conocida la base y el exponente debemos encontrar el valor de la potencia, pero existe una operación en la que nos dan la potencia y el exponente y debemos encontrar la base, esta operación se la conoce con el nombre de radicación así:
En general si M y a son números reales y n es un número entero positivo mayor que 1, entonces a es la raíz n-esima de M sí y solo sí: 
- Al igual que la potenciación las leyes de los radicales son muy importantes y como una raíz no es más que una potencia con exponente fraccionario, es lógico deducir que los radicales obedecen a las mismas leyes de los exponentes pero con distinta simbología. Es muy necesario analizar los radicales con índice par y radicando negativo; por definición la raíz cuadrada de un número negativo es un número que elevado al cuadrado de como resultado el número negativo, pero sabemos que todo número real elevado al cuadrado da como resultado un número positivo o cero pero en ningún caso un número negativo; por lo tanto podemos concluir que, por ejemplo que √-25 imagen representa un número real. De acuerdo con este análisis debemos tener presente que las raíces de índice par y radicando negativo no están definidas dentro del conjunto de los números reales.
- Una aplicación muy importante que se realiza con los radiales es la racionalización, que es una operación que tiene por objeto eliminar los radicales del numerador o del denominador; para ello es necesario entender claramente lo que significa la conjugada del numerador o del denominador. (Fíjese detenidamente en el ejemplo 4 de las página 26).
- Exponentes racionales.- Con frecuencia es más fácil trabajar con exponentes racionales que con radicales. Toda potencia de exponente fraccionario equivale a una raíz en la que el denominador del exponente es el índice de la raíz y el numerador del exponente es el exponente del radicando. Analice la definición explicada en el recuadro de la página 27 y el ejemplo 5 de la página 28.
- En la mayor parte de los problemas es más fácil sacar primero la n-ésima raíz y después elevar la n-ésima potencia y no al revés.
[editar] EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Lea los contenidos de las páginas 31 a la 43.
- Polinomios.- Un polinomio es una expresión algebraica que se forma a partir de variables y constantes únicamente con las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Ejemplo:
En cada término de un polinomio, el exponente de la variable debe ser un entero no negativo. Los cálculos con polinomios se basan en las propiedades de los números reales, por que las variables representan números reales. En el numeral 1.3 de las páginas 31 a la 40 encontrará la definición, clasificación y el álgebra de los polinomios; así como polinomios con varias variables. Analice los ejemplos resueltos para su mayor comprensión.
- Con los polinomios se pueden realizar las operaciones fundamentales del álgebra tales como la adición, sustracción y multiplicación de polinomios, para ello se aplican las propiedades de los números reales ya que cada símbolo de un polinomio representa un número real.
- Productos notables.- Existen algunos productos que se presentan con bastante frecuencia en los cálculos algebraicos, por esta razón se han deducido algunas reglas para obtener directamente su resultado sin necesidad de realizar la operación con los procedimientos indicados. Estas reglas están claramente indicadas en un recuadro de la página 36 de su libro guía. Analice los ejemplos resueltos.
- Factorización.- Factorar un polinomio es transformarlo en un producto de dos o más polinomios de grado inferior al polinomio dado. La instrucción factorar o factorizar, simplemente significa que debemos determinar la forma totalmente factorizada de la expresión dada. Cuando un polinomio no puede ser descompuesto en factores, decimos que es “primo”. Así por ejemplo, son polinomios primos:
- Existen varios casos y métodos de factorización, en las páginas 38 a 43 tiene 10 ejemplos explicados de todos los casos; analícelos y saque conclusiones.
[editar] EXPRESIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES
Lea los contenidos de las páginas 45 a la 53. Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. Las expresiones racionales son las extensiones algebraicas de los números racionales y, por lo tanto, las reglas fundamentales del manejo de estos números abarcan las expresiones racionales. En este subcapítulo encontrará descritas reglas importantes del manejo de expresiones racionales, que también se llaman fracciones algebraicas, acompañadas de ejemplos para que usted pueda comparar los procedimientos que se siguen. Ponga atención en los ejercicios resueltos y explicados de las páginas 47 a la 53. A menudo se confunde una expresión algebraica con una ecuación algebraica y a veces se la trata como tal.
[editar] Capitulo2: ECUACIONES Y DESIGUALDADES
[editar] ECUACIONES
Por mucho tiempo el estudio del álgebra estuvo estrechamente ligado con el estudio de las ecuaciones, es innegable que su importancia sigue vigente, por cuanto muchas de las aplicaciones de la matemática requieren del planteamiento y resolución de diversos tipos de ecuaciones.
Este capítulo hace un tratamiento de cada uno de los temas, justificando los principios que permiten la transformación de una ecuación en otra equivalente; en términos generales resolver una ecuación o una inecuación no es más que la transformación gradual de las mismas en otras equivalentes hasta que la solución sea evidente (equivale también a decir que resolver una ecuación o una inecuación es encontrar el valor de la variable que hace cumplir la igualdad)
Lea los contenidos de las páginas 60 a 68.
Para resolver ecuaciones se aplican las propiedades de las igualdades. La importancia de estas propiedades reside en que producen ecuaciones equivalentes, ecuaciones que tienen las mismas raíces. Así, la propiedad de la suma convierte a la ecuación 2x−3=7 en la forma equivalente 2x=10. Ya que es posible cometer errores aritméticos o algebraicos cuando se soluciona una ecuación, siempre es buena práctica verificar cada solución, sustituyéndola en la ecuación original.
Es necesario señalar que existen ecuaciones que no tienen solución o tiene soluciones extrañas. Generalmente puede ocurrir cuando se multiplica ambos lados de la ecuación por una expresión que puede ser 0 para algunos valores de la variable.
Existen diferentes tipos de ecuaciones tales como las ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales, etc.
Una ecuación lineal posee una variable elevada a la primera potencia, responde a la forma ax+b=0; a≠0 donde a y b son números reales. Este tipo de ecuaciones poseen solamente una solución 
imagen, siendo por lo tanto las más sencillas de resolver.
En la página 64 usted encontrará en recuadro una guía para resolver una ecuación que contenga expresiones racionales, léalas y aplíquelas.
[editar] PROBLEMAS APLICADOS
El álgebra es muy útil para solucionar muchos problemas prácticos que incluyen razón de cambio, velocidades, mezclas, dinero, etc. Puesto que estos problemas se expresan con palabras. El reto de estos problemas con palabras consiste en traducir las palabras en una ecuación algebraica apropiada. Ya que no existe un procedimiento único para hacer esta traducción, se requiere trabajo, práctica y paciencia para volverse un experto en la solución de estos problemas.
| Lea y aplique detenidamente la guía para resolver estos problemas la misma que esta expuesta en la página 69 de su libro guía, además fíjese bien en la solución de problemas tipo presentados por el autor. |
[editar] ECUACIONES CUADRÁTICAS
Lea los contenidos de las páginas 80 a 90.
Una ecuación cuadrática posee una variable a la segunda potencia, su forma general es: 
Esta ecuación tiene a lo sumo dos raíces (soluciones).
Existen varios métodos de resolución para una ecuación cuadrática o de segundo grado, los principales métodos que se aplican son: Factorización, método que consiste en transformar a la ecuación cuadrática en dos factores, para luego igualar a 0 cada factor y obtener así las soluciones.
Cuando se soluciona una ecuación cuadrática por factorización, se debe igualar la expresión cuadrática a 0. No tiene ningún sentido factorizar por ejemplo 
como x(4x+5)=6 Puesto que el miembro derecho es 6 (no 0), no podemos igualar cada factor a 6. (Estudie detenidamente el Teorema del factor 0 incluido en la página 81.)
Cuando una ecuación no puede factorizarse fácilmente, se puede aplicar el método de completación del cuadrado, método que consiste en agregar la mitad del coeficiente del término en x (b) elevado al cuadrado, a los dos miembros de la ecuación, obteniéndose así un trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro, que luego se soluciona aplicando el método de la raíz cuadrada; fijémonos en el siguiente ejercicio.
Resolver la ecuación 
Solución:
(Se ha dejado un espacio para completar el cuadrado y se ha pasado el 2° al segundo miembro).
(Se ha completado el trinomio agregando 22 a los dos miembros para no alterar la ecuación, note que 22 es la mitad de 4 elevado al cuadrado).
(Se reescribe la expresión en función del trinomio).
imagen (Se extrae la raíz cuadrada a los dos miembros de la ecuación)
imagen (Operaciones).
imagen Se ha encontrado el valor de u que era la incógnita, por lo tanto se ha solucionado la ecuación).
Una variación que puede tener la ecuación es de que el coeficiente del término en 
no sea 1, en tal caso se deberá primeramente dividir todos los términos de la ecuación para el coeficiente de antes de aplicar el método descrito.
El método más fácil y más sencillo es el de aplicar la fórmula cuadrática:
En la solución de la ecuación.
El número de soluciones de la ecuación estará en función del discriminante 
pues si el discriminante es mayor que 0, entonces tendrá dos soluciones; si el discriminante es igual a 0, tendrá una solución y, si el discriminante es menor a 0, no tendrá ninguna solución en el conjunto de los reales. Revise el recuadro de la página 85.
[editar] NÚMEROS COMPLEJOS
Lea los contenidos de las páginas 95 a 102.
Algunas ecuaciones cuadráticas no tienen solución real. Por ejemplo la ecuación 
no tiene raíces reales porque no hay número real x tal que 
En esta sección se estudia el conjunto de números complejos que contiene soluciones a ecuaciones tal como la anterior. Es muy importante que analice las propiedades de i y las operaciones con números complejos expuestas en las páginas 95 a la 100, así como los ejercicios resueltos.
Los números complejos son susceptibles de representación gráfica en un sistema de coordenadas rectangulares. En el capítulo 8 de su texto guía “Aplicaciones trigonométricas “, encontramos una ampliación de los números complejos, esto es; Forma trigonométrica de los números complejos, así como el Teorema de Moivre y raíces n-ésimas de números complejos. Por el momento no vamos a tratar este curso lo dejamos para cursos posteriores.
[editar] OTROS TIPOS DE ECUACIONES
Lea y analice los contenidos y ejemplos de las páginas 10 a 109. Muchas de las veces se presentan ecuaciones que no tienen la forma de una ecuación lineal ni cuadrática; estas pueden tener potencias mayores que 2, pueden contener valor absoluto o pueden tener radicales. Si la ecuación contiene radicales, se puede eliminar los mismos elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación, teniendo en cuanta que al elevar al cuadrado se pueden introducir soluciones extrañas, sugiriéndose en este caso verificar las soluciones de la ecuación, en la ecuación original. Veamos el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 
(Transposición de términos)
(Elevamos al cuadrado para eliminar radicales)
(Operaciones)
imagen (Reducción de términos)
(Simplificamos la mitad de todos los términos)
imagen (Nuevamente elevamos al cuadrado para eliminar la raíz)
(Resultado de las operaciones)
(Reducción de términos)
(Solucionamos la ecuación por la fórmula general)
Una vez obtenidas la soluciones y de comprobarlas, concluimos que solamente la raíz x=10 cumple con la solución, desechándose por lo tanto la raíz 
raíz que se introdujo al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar la raíz.
Este método puede aplicarse a todas las ecuaciones de este tipo. En las páginas 103 a 107 encontrará 9 ejercicios resueltos y explicados para su mejor comprensión.
Otro tipo de ecuaciones que se pueden presentar son las ecuaciones que contienen valor absoluto. Estas ecuaciones se solucionan aplicando la definición y las propiedades de los valores absolutos (revise las propiedades en el recuadro de la página 12); para un mejor entendimiento vamos a ilustrarnos con el siguiente ejemplo:
Resolver: 
(Definición de valor absoluto)
Resolviendo las ecuaciones resultantes por los métodos citados anteriormente se obtiene los siguientes resultados: 
(la primera ecuación resultante no tiene solución en el conjunto de los reales)
Existen ecuaciones que pueden reducirse a una ecuación de tipo cuadrática, por medio de una adecuada sustitución. Veamos el siguiente ejemplo:
Resolver: 
Se sustituye a 
y reemplazar así:
(Observe que tiene la forma de una ecuación cuadrática)
Se resuelve la ecuación resultante por los métodos estudiados anteriormente, obteniéndose los siguientes resultados: 
La solución no termina aquí puesto que hemos utilizado un artificio para la solución y solamente hemos hallado los valores de u (nuestra ecuación contiene la variable x. Ahora reemplazamos nuevamente con los resultados obtenidos así:
(Sustitución)
(Aplicamos leyes de exponentes)
(Aplicamos propiedad de los números reales)
(Operaciones y solución de la ecuación)
| Existen ecuaciones de diversos tipos; nuevamente, los ejemplos de las páginas 104 a la 107 le servirán de mucha ayuda. |
[editar] DESIGUALDADES (INECUACIONES)
Lea los contenidos de las páginas 112 a 127. Los enunciados que incluyen relaciones de orden tales como 9x−3〈−6 se llaman inecuaciones. Resolver una desigualdad (llamada también inecuación) es encontrar el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad; como en las ecuaciones, la metodología de resolución consiste en aislar a la variable de un lado de la desigualdad y las constantes del otro. A diferencia de una ecuación, una inecuación no solamente tiene un número limitado de soluciones sino que puede tener un infinito número de soluciones. El conjunto solución de una desigualdad generalmente se lo expresa en forma gráfica (sobre una recta numérica) o en notación de intervalos (conjunto de valores numéricos con simbología adecuada). Las páginas 113 y 114 nos muestran los posibles casos de notaciones de intervalos así como sus desigualdades, sus gráficos y las propiedades de las desigualdades. Existen así mismo diferentes tipos de desigualdades, tales como: desigualdades lineales, desigualdades cuadráticas, desigualdades con valor absoluto, desigualdades de orden superior y desigualdades racionales. Las desigualdades más sencillas son las desigualdades lineales, que tiene la forma ax+b〈0; a≠0 Este tipo de desigualdad se resuelve aplicando las leyes de las desigualdades (observe el recuadro de la página 114) estas leyes son similares a las leyes de las igualdades, con la única diferencia de que al multiplicar los miembros de una desigualdad por una cantidad negativa la desigualdad cambia de sentido, es decir que si es mayor que, cambia a menor que y viceversa. Veamos el siguiente ejemplo: Resolver la desigualdad 3−9x〈−6 y expresar la solución en notación de intervalos.
| 3−9x−3〈−6−3 | (Sumamos −3 a los dos miembros para eliminar el 3 del primer miembro; note que la inecuación es equivalente; en la práctica este paso se lo hace directamente es decir el 3 del primer miembro pasa como menos 3 al segundo) |
| −9x〈−9 | (Operaciones) |
| (−1)−9x?−9(−1) | (Multiplicamos los dos miembros por (−1) para hacer x positiva, hemos puesto un signo de interrogación por el signo de la desigualdad) |
| 9x〉9 | (Escribimos la inecuación con el nuevo sentido de la desigualdad que cambió de menor que a mayor que) |
| x〉1 | (La inecuación resultante es la más reducida posible y es la solución evidentemente) |
La solución ahora la vamos a escribir en notación de intervalos; para ello debemos interpretar el resultado de la siguiente manera: x〉1 significa que los valores que debe tomar xpara que la desigualdad se cumpla, deben ser todos los valores de x que se encuentren a la izquierda de 1 en la recta numérica, hasta el infinito positivo. El siguiente gráfico nos ayudará:
La notación ]1, +α) es un intervalo abierto, lo que quiere decir que el extremo 1 no es parte de la solución.
Luego de resolver una desigualdad es muy importante su comprobación. Esto se hace, escogiendo uno o dos valores del conjunto solución y reemplazándolo en la desigualdad original; si la solución es correcta la desigualdad se cumple, caso contrario hay un error que puede estar en la resolución o en su comprobación.
Una inecuación es simultánea si tiene la forma a〈x〈b que quiere decir que la variable x debe cumplir las dos condiciones simultáneamente. La lectura de este tipo de inecuación se la hace desde el centro de la misma de esta forma: “ x es mayor que a y menor que b”.
La solución de este tipo de desigualdad se la puede hacer de dos maneras diferentes; la primera separando las desigualdades y resolviéndolas una por una o se la resuelve también simultáneamente; el siguiente ejemplo clarificará el procedimiento.
Ejemplo: Resuelva la desigualdad 100−x〈6x−4〈121−x; (Se lee desde el centro a los costados: “Seis x menos cuatro es menor que 〈121−x y mayor que 100−x). Exprese la solución en notación de intervalos.
Solución: (primero separamos las desigualdades y las solucionamos individualmente)
Finalmente se escribe la solución simultánea así: 
se recomienda siempre escribir la inecuación resultante en el sentido de ubicación que tienen los números reales en la recta numérica, para conservar un orden.
El segundo método es la resolución simultánea, ilustrada de la manera siguiente:
100−x〈6x−4〈121−x
100+4〈6x+x〈121+4 (Se ha pasado el −4 a los dos miembros y x también)
100 < 7x < 125 (Operaciones)
104/7 < 125<7 (Solucion)
Gráficamente ilustramos la solución así:
Observe que la solución constituye el segmento intersección de las dos semirrectas.
Muchas aplicaciones importantes de inecuaciones, incluyen también valores absolutos. Es necesario que recuerde el concepto y las propiedades del valor absoluto, pues son necesarios para resolver este tipo de inecuaciones y funciones que incluyen este concepto; así mismo en necesario recordar y entender las propiedades del valor absoluto con desigualdades; en la página 118 de su libro encontrará un recuadro que muestra estas propiedades. Ejemplo: |x−2|〈3 significa que x está a menos 3 unidades de 2, por tanto −1 < x > 5. Es necesario que analice detenidamente los ejemplos expuestos en este subcapítulo, páginas 118 y 119.
En las páginas 121 a la 127 se estudia a las inecuaciones cuadráticas y racionales.
Para resolver desigualdades donde intervengan polinomios de grado mayor a 1, se aplican las propiedades de los números reales, descritos en las páginas iniciales y, utilizando un diagrama de signos la solución se facilita. A continuación incluimos un ejercicio en el que se explica su resolución.
Como en la inecuación, uno de sus miembros es cero (requisito indispensable para su resolución) igualamos a 0 cada uno de los factores obteniéndose los valores de x; de la siguiente manera:
Los valores obtenidos de x servirán para marcar en la recta numérica intervalos; estos valores también se denominan puntos críticos. Los intervalos originados se ilustran a continuación:
A continuación se elabora una tabla de signos con las siguientes características:
La primera fila corresponde a los intervalos originados por los puntos críticos en la recta numérica.
La segunda fila corresponde a K, un valor de prueba escogido en el intervalo (puede ser cualquiera, siempre y cuando esté en el intervalo)
La tercera fila corresponde al signo de la expresión factorizada (es mejor trabajar en esta expresión que está factorizada, por la facilidad para analizar el signo del resultado), encontrado luego de reemplazar el valor de prueba por x.
Luego de obtenidos los signos se hace el análisis de la solución observando que la desigualdad 
se cumplirá solamente cuando el primer miembro tenga signo positivo, quiere decir ≥ que 0. Por lo tanto los intervalos que originaron signo positivo son la solución de la desigualdad. Seguidamente se escribe la solución utilizando nomenclatura de unión de conjuntos, puesto que un intervalo es un conjunto numérico.
Solución: (−α,−5]U[-3,-1]∪[1,α)
Un aspecto importante que hay que resaltar es que todos los intervalos son cerrados, esto se deduce considerando que la igualdad tiene doble signo es decir ≥.
Este procedimiento se aplicará en todas las desigualdades de este tipo; es decir desigualdades polinómicas.
Las desigualdades racionales, son aquellas desigualdades en las que existe una variable en el denominador o podemos decir también que están constituidas por el cociente de dos polinomios por ejemplo: 
Para resolver este tipo de desigualdades se sigue un procedimiento idéntico al descrito anteriormente para una desigualdad polinómica, con la diferencia de que hay que excluir del conjunto solución todos los valores que produzcan ceros en el denominador, lo que produciría una indeterminación: también se elabora un diagrama de signos para el análisis de la solución. Veamos el siguiente ejemplo:
Resolver la desigualdad: 
Primeramente hacemos que uno de los miembros sea 0 así:
Seguidamente encontramos los puntos críticos, igualando a cero el numerador y también obtenemos el valor de x que produce ceros en el denominador:
Los intervalos originados se ilustran a continuación:
Tabla de signos:
Solución: todos los intervalos que produzcan signo negativo (La desigualdad es ≤ 0) es decir;
(−∝,−3] ∪ ]1,3]
Hay que tomar en cuenta que el valor 1 produce indeterminación, por lo tanto tenemos que abrir los intervalos que contengan el extremo 1 (al abrir el intervalo excluimos el valor del extremo de la solución.) así:
(−∝,−3] ∪ ]1,3] que es la solución.
Más ejercicios explicados encontrarán en las páginas 121 a la 127.
[editar] Capitulo3: FUNCIONES Y GRAFICAS
Este capítulo constituye el más importante de todos los demás, pues su aplicación es casi general y específicamente en el cálculo.
[editar] SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES.
Lea y analice los contenidos de las páginas 134 a 140.
En las primeras secciones de este capítulo se consideran los sistemas coordenados en dos dimensiones, este sistema es muy conocido puesto que se lo ha empleado desde los últimos años de secundaria, siendo necesario recalcar que el sistema de coordenadas rectangulares se origina del producto cartesiano R x R.
Un punto cualesquiera quedará representado en este plano por medio de sus coordenadas, que no son más que las distancias que existen entre el punto considerado y los ejes coordenados. Puesto que el sistema se considera formado por la intersección de dos rectas numéricas; la una vertical y la otra horizontal, el punto de intersección se considera como el origen de este sistema. Se han originado cuatro semirrectas, considerado de esta manera cuatro direcciones que marcarán mas tarde los signos correspondientes y los cuadrantes respectivos.
De manera general cada par ordenado de números reales constituye una relación y la ubicación de estas parejas ordenadas en el plano, constituye el gráfico de la relación.
Una relación también puede estar dada por una ecuación algebraica o por una fórmula que las relacione por ejemplo: 
Con el estudio del sistema de coordenadas rectangulares, podemos deducir fácilmente la fórmula de la distancia entre dos puntos, así como la fórmula del punto medio.
Formula de la distancia
Una de las fórmulas básicas de la Geometría analítica es la fórmula de la distancia entre dos puntos que tiene la siguiente forma:
Es decir; la distancia entre dos puntos está dada por la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de la diferencia de abscisas y diferencias de ordenadas de los puntos considerados, sin importar el orden de escogitamiento para X y para Y.
Ejemplo: Halle la distancia entre los puntos A (−5,3) y B (4,1)
Que es la distancia entre los puntos A y B. Existen múltiple aplicaciones de esta fórmula.
[editar] GRAFICAS DE ECUACIONES
Este subcapítulo es de mucha importancia y es necesario que ponga mucha atención. Lea y analice los contenidos de las páginas 143 a 149.
Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla, así por ejemplo si la relación esta dada por la fórmula 
algunos de los pares ordenados que cumplen con la relación son (0,0), (2,2), (1, 1/2), (−2,2) etc. Si representamos estos pares ordenados en el sistema tendríamos bosquejada la gráfica de la ecuación.
El grado de exactitud de una gráfica está en función directa del número de puntos escogidos para graficar, ¿pero cuantos puntos deberán escogerse? Esto dependerá del tipo de ecuación así como de la práctica que se tenga.
Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades que las vamos a describir a continuación.
Intersectos o intersecciones.- Encontrar los puntos por donde la gráfica de la ecuación corta los ejes coordenados resulta de mucha utilidad para trazar su gráfica.
Estos valores se encuentran asignando el valor de 0 a y luego encontrando el valor de y para encontrar el intersecto con el eje y. Para encontrar el intersecto con el eje se asignará el valor de 0 a , encontrándose luego el valor de . Se clarifica mejor con el siguiente ejemplo:
Halle las intersecciones con los ejes de la siguiente ecuación: 
- Intersecto con el eje x; hacemos = 0; obteniéndose
- Lo que quiere decir que la gráfica atraviesa el eje en el punto (10, 0)
- Intersecto con el eje y; hacemos = 0; obteniéndose
→ 
- Lo que quiere decir que la gráfica atraviesa el eje en los puntos
Para su mejor comprensión e ilustración fíjese en el recuadro de la página 143.
En muchos de los casos esto requerirá la solución de una ecuación, lo que hasta este momento debe usted dominar.
La gráfica de una ecuación también puede ser simétrica, esto quiere decir que la porción de la gráfica en un cuadrante es imagen (como reflejada en un espejo) de la gráfica en otro cuadrante. Para saber si el gráfico de una ecuación es simétrico se aplica tres pruebas, si se remite a la página 148 de su libro, encontrará en un cuadro estas propiedades. Para una mejor explicación haremos el siguiente ejercicio:
Determine si la gráfica de la ecuación 
es simétrica.
Para saber si la gráfica es simétrica con respecto al eje reemplazamos por − en la ecuación así:
<p>
; como se observa, la ecuación resultante es la misma que la ecuación planteada; como conclusión se dice que la gráfica es simétrica con respecto al eje x.
Para saber si la gráfica es simétrica con respecto al eje reemplazamos por − en la ecuación así:
El resultado es: 
como se puede observar la ecuación resultante no es equivalente a la ecuación original; como conclusión, la gráfica no es simétrica con respecto al eje y.
Para saber si la gráfica es simétrica con respecto al origen reemplazamos por −x y por −y simultáneamente en la ecuación así:
El resultado es: 
; la ecuación resultante no es equivalente tampoco a la ecuación original, determinándose que la gráfica de la ecuación no es simétrica con respecto al origen.
El bosquejo de la gráfica es:
Nótese la simetría con respecto al eje . En esta sección también se incluye un breve estudio de la recta y de la circunferencia; puesto que el Pénsun de la Carrera de no contempla el estudio de la Geometría analítica, aprovecharemos este espacio para recalcar las partes más importantes que usted debe conocer. Circunferencias Lea los contenidos de las páginas 150 a 156 Una circunferencia se define como un conjunto de puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro siempre es constante. La distancia constante se llama radio. Se aplica la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación del conjunto antes mencionado. La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:
Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma:
Al estudiar la circunferencia pueden presentarse dos tipos de ejercicios; dados los elementos de la circunferencia es decir el centro y el radio encontrar su ecuación y, dada la ecuación de la circunferencia, encontrar sus elementos. En el primer caso solamente tendríamos que reemplazar los datos en cualquiera de las dos ecuaciones anotadas anteriormente, y para el segundo caso tendríamos que a partir de la ecuación modificarla para encontrar sus elementos. Veamos el siguiente ejercicio: Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:
Solución: Primeramente acondicionamos la ecuación para completar dos trinomios cuadrados perfectos en y de la siguiente manera.
(Dividimos para 5 para tener 'x y 'y
(Completamos los trinomios agregando la mitad de 5 y 2 elevados al cuadrado y efectuamos operaciones =.
Escrita de esta forma, se nota claramente que el centro de la circunferencia está en el punto 
y el radio es igual a: 
En las páginas 150 a 156 de su texto encontrará algunos ejemplos para que usted pueda analizarlos.
[editar] RECTAS
Lea los contenidos de las páginas 159 a 169 Como se había mencionado anteriormente, se incluye en este capítulo un breve estudio sobre la recta, tema reservado a la Geometría Analítica. En esta parte es necesario conocer claramente las formas de las ecuaciones de la recta, el concepto de pendiente, rectas paralelas, rectas perpendiculares, para sus aplicaciones posteriores. Por tratarse de un tema no muy complicado, solamente le sugiero que analice detenidamente la parte teórica, analice también los ejemplos que se incluyen, y; realice algunos ejercicios de autoevaluación para que refuerce el conocimiento.
[editar] DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Preste mucha atención a este subcapítulo pues en el aprenderá a definir funciones.
- Lea detenidamente los contenidos de las páginas 178 a 188.
Las relaciones especiales llamadas funciones representan uno de los conceptos más importantes de todas las matemáticas. Es por esta razón que le sugiero que le preste la mayor atención a esta parte del capítulo.
Una relación es una regla que produce una correspondencia entre un primer conjunto de elementos llamado dominio y un segundo conjunto de elementos llamado rango; tal que, a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos del rango.
Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. El gráfico siguiente le ayudará a entender el concepto de mejor manera.
Simbolizaremos a una función con una f
Note que de cada elemento del conjunto dominio solamente parte una flecha, pero a un elemento del conjunto rango puede llegar más de una flecha; si esta relación se mantiene la relación será una función.
Una relación o función se puede determinar de diferentes maneras a saber: mediante una ecuación, una tabla, un conjunto de parejas ordenados de elementos, una gráfica, etc., lo importante es que se da un conjunto de elementos llamado dominio y una regla (método o proceso) para obtener el correspondiente valor del rango, para cada valor del dominio.
Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento de x de D un único elemento de de E. Al elemento de E se llama valor en y se denota por f(x) (que se lee “f de x”). (También recibe el nombre de imagen de bajo ƒ). El conjunto D se denomina DOMINIO de la función. El CONTRADOMINIO, RANGO o CODOMINIO de f consiste en todos los valores posibles de f(x), en donde x está en D. Es importante recordar que a cada x en D se le asocia un único valor y en E; sin embargo, elementos diferentes de D, pueden tener el mismo valor en E.
- Los símbolos:
Significan que f es una función de D a E. Debe recordar que se usa para representar la función, no está en D ni en E, sin embargo, es un elemento de E, el que asigna a. En general la notación de una función es: y = f(x)
Se debe resaltar que en una función existen dos tipos de variables, la variable que puede tomar diferentes valores (en este caso se denomina variable independiente y la variable que depende de los valores tomados por x, que se denomina variable dependiente (en este caso y).
A menudo una función se define por una fórmula explícita, por ejemplo 
Dominio y rango.- Son los conceptos más importante en el tratamiento de una función, es muy necesario que estos dos conceptos estén muy bien entendidos.
El dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real.
Analicemos los siguientes ejemplos:
Dada la función f(x) = 2x+1 si analizamos la función, podemos observar que si damos cualquier valor a x(positivo, negativo o 0), siempre f(x) nos arrojará un número real; por lo que podemos concluir que el dominio de la función son todos los números reales.
Generalmente el conjunto dominio de la expresa en notación de intervalos.
Ahora, analicemos el siguiente ejercicio: 
; el valor de <x solamente puede adoptar valores mayores o iguales a 3 para que dé como resultado un número real; si asignamos un valor de 2 por ejemplo, obtendríamos como resultado una raíz cuadrada de una cantidad negativa que no corresponde a un número real; siendo por lo tanto el dominio: [3, α), que significa todos los valores de 3 hacia la derecha en la recta numérica, hasta el infinito, incluyendo al 3 (intervalo semicerrado por la izquierda).
El rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los “resultados” de la función al aplicar los valores del dominio. Si retomamos el ejercicio anterior, observamos que la función solamente arrojaría valores positivos y nunca valores negativos, pues es una raíz positiva; entonces el rango o contradominio de la función son todos los valores positivos en la recta numérica incluido el 0, en notación de intervalos sería: [0, α).
Encontrando imágenes.- Cuando una función esta definida (generalmente por una expresión algebraica), muchas veces es necesario encontrar valores del rango, dados valores del domino de la función. Esta operación solamente consiste en reemplazar el valor del dominio (que toma las veces de la variable independiente) en la función dada por ejemplo: Sea la función 
.
Desarrollo:
Prueba de la recta vertical.- Una manera practica de saber si el grafico de una relación corresponde al gráfico de una función es la realizar la prueba de la recta vertical, que consiste en trazar una recta vertical por cualquier parte del grafico. Si la recta vertical corta al grafico a lo más en un punto, el gráfico constituye el gráfico de una función. Si la recta corta al grafico en más de un punto el grafico no corresponde al grafico de una función. Por ejemplo el gráfico de una circunferencia no constituye el gráfico de una función (La recta vertical corta la curva en dos puntos). Algunas veces se describen funciones en términos de varias expresiones, tales funciones se llaman funciones definidas por trozos o por partes. Veamos el siguiente ejemplo:
Sí <0, entonces toma la forma de f(x) = 2x+3. Esto quiere decir que si x es negativa, debemos usar la expresión 2x+3 para obtener los valores de f(x). Por lo tanto, si x < 0 la gráfica de ƒ coincide con la recta y=2x+3 y trazamos la porción de la recta (comprendida entre los límites marcados por el intervalo) a la izquierda del eje como se indica en la gráfica.
Sí 0 ≤ < 2, hay que emplear la expresión 
para determinar los valores de f(x) y, por consiguiente esta porción de la gráfica coincide con la parábola 
. Trazamos esta parábola entre x = 0 y x = 2, como se muestra en la figura. Por último sí x ≥ 2, los valores de ƒ son siempre 1. Esta parte de la gráfica corresponde a la semirrecta horizontal del gráfico.
Cuando se pide encontrar valores del rango en este tipo especial de funciones, se debe tomar en consideración que se trata de una sola función, sino que ésta está definida por intervalos o partes, y dependerá del valor del dominio, el valor del rango. Por ejemplo, si queremos hallar f(-2), deberíamos reemplazar −2 en la parte correspondiente a la función definida por 2x+3. En la página 202 de su texto encontrará más ejercicios resueltos de este tipo de funciones.
Funciones crecientes, decrecientes y constantes.- Una propiedad importante de las funciones, es la continuidad; el estudio de la continuidad se lo hace mas profundamente en el cálculo; pero el subcapítulo puede darnos una idea intuitiva del concepto de continuidad.
Las funciones crecientes, decrecientes y constantes se definen como sigue:
| Las funciones crecientes, decrecientes y constantes |
| Sea I un intervalo del dominio de una función ƒ. Entonces.
1.- ƒ es creciente en I sí ƒ(b) >ƒ(a) siempre que b > a en I 2.- ƒ es decreciente en I sí ƒ(b) < ƒ(a) siempre que b > a en I 3.- ƒ es constante en I sí ƒ(b) = ƒ(a) para todo a y b de I |
Si analizamos el siguiente gráfico podemos llegar a las conclusiones:
La gráfica es decreciente en el intervalo (−α,a), creciente en el intervalo [a,b] y decreciente en el intervalo [b, α). Si la gráfica de una figura no está rota o desunida en un punto, se dice que la función es continua en ese punto. A continuación tenemos un ejemplo de una función discontinua.
La gráfica muestra una discontinuidad, pues da un salto en un mismo punto (b). (Observe el análisis hecho por el autor en la página 183).
[editar] GRÁFICA DE FUNCIONES.
Lea y analice los contenidos de las páginas 196 a 207 Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica, que es la gráfica de las parejas ordenadas de números reales que constituyen la función. Cuando se dibuja la gráfica de una función, los valores del dominio se asocian por lo regular al eje horizontal y los valores del rango con el eje vertical.
Como se puede notar en el gráfico el dominio sería el intervalo [b, c] y el rango el intervalo [e, d]
Conjuntamente con el concepto, el gráfico de una función son muy importantes, pues a partir del gráfico se puede analizar el comportamiento de f(x) cuando los valores de x del dominio varían.
La gráfica de una función es la gráfica de la ecuación 
en el dominio de ƒ; si observamos el gráfico anterior:
La figura muestra el dominio de ƒ(conjunto de valores posibles de x) y el rango de ƒ (los valores correspondientes de y)
Las intercepciones x de la gráfica (llamadas también intersectos) de una función ƒ son las soluciones de la ecuación 
(es decir igualar a cero la función dada y resolverla). Estos números se conocen como ceros de la función. Las intercepciones con el eje Y de la gráfica están dadas por f(0). (Es decir hallar la imagen para 0 en la función) si es que existe. Veamos el siguiente ejemplo.
Halle las intercepciones de la gráfica de la función 
- Primero hallamos las intersecciones con el eje x hallando f(x)=0 así:
Es decir la gráfica de la ecuación interceptará al eje x en los puntos (−2,0) y (2, 0)
Luego hallamos las intercepciones con el eje y hallando de la siguiente manera.
Es decir la gráfica interceptará al eje y en el punto (−4,0). La gráfica correspondiente sería:
El numeral 3.2 de la página 145 y el numeral 3.5 de la página 196 de su texto le proporciona amplia explicación y más ejemplos para su análisis.
Funciones pares e impares.- Es muy importante saber si una función dada es par o impar, pues proporciona un auxiliar útil para hacer la gráfica; además, ciertos problemas de cálculo y matemáticas mas avanzados se simplifican cuando se sabe que la función es par o impar. Para saber si una función es par o impar se debe cumplir lo siguiente:
- Sí f(-x)=f(x) entonces ƒ es función par
- Sí f(-x)=-f(x) entonces ƒ es una función impar
Una función par es simétrica respecto al eje vertical ; una función impar es simétrica con respecto al origen.
Para determinar si una función es par se reemplaza en la ecuación original la variable independiente por su negativo y se analiza el resultado comparándolo con la función original. Si el resultado es una ecuación equivalente, entonces concluimos que la función es par. Veamos el siguiente ejemplo:
La función resultante es equivalente a la función original, determinando por lo tanto que la función es par.
- Determine si la función
es par o impar.
- Determine si la función
- Reemplazando x por −x tenemos
Como al realizar esta operación observamos que el resultado de reemplazar, resulta la función original cambiada de signo, concluimos que la función es impar.
Observe detenidamente el recuadro expuesto en la página 196, así como los ejercicios resueltos de las siguientes páginas. Es importante que analice lo correspondiente a desplazamientos horizontal y vertical de una gráfica.
Traslaciones verticales de las curvas (c > 0)
Traslaciones horizontales de las curvas (c > 0)
El siguiente gráfico le ilustrará de mejor manera:
El gráfico nos indica que la gráfica de la función y=f(x) se ha desplazado c unidades hacia la derecha de su posición original. Es decir se puede modificar el gráfico de una función mediante las traslaciones correspondientes; y se pueden modificar las funciones observando como se han trasladado las gráficas. Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo: Modificar la función y=f(x)=|x| de manera que su gráfico se traslade dos unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia abajo.
La ecuación modificada es: f(x)=|x-2|-3 Los gráficos serían:
[editar] TIPOS DE FUNCIONES.
Lea los contenidos de las páginas 185 y 187
Funciones lineales.- La expresión algebraica ax+b a≠0 es un polinomio de primer grado, por lo tanto, una función lineal se llama polinomio de primer grado. Se usa la palabra lineal para denominar estas funciones en virtud de que sus gráficas son líneas rectas.
- f(x)=ax+b a≠x Es una línea recta
Son las funciones más sencillas de graficar pues solo se necesitarán dos puntos de su gráfico. El dominio de estas funciones son los números Reales.
Otra función importante de anotar es la función identidad denotada por f(x)=x
El gráfico de esta función corresponde a una línea que divide a los cuadrantes en dos partes iguales, los puntos de la gráfica tienen la forma (a,a), (b,b). Observe el gráfico siguiente:
[editar] FUNCIONES CUADRATICAS.
Lea los contenidos de las páginas 213 a 218
Una función cuadrática tiene la forma 
La gráfica de una función cuadrática se denomina parábola. Las gráficas de todas las funciones cuadráticas son similares a la gráfica de 
con la diferencia de que sus concavidades (forma) pueden ser hacia arriba o hacia abajo o pueden ser reflejadas sobre el eje x. Los siguientes gráficos nos muestras las diversas formas de las parábolas.
El primer gráfico nos muestra el gráfico general de la parábola; el segundo nos muestra la parábola reflejada en el eje x: el tercer gráfico nos muestra la parábola trasladada b unidades hacia la derecha y el último gráfico nos muestra la parábola trasladada b unidades hacia la izquierda y c unidades hacia arriba.
Muchas veces es necesario reconocer el vértice de la parábola (especialmente cuando se requiere encontrar el rango de una función cuadrática, y los valores máximo o mínimo) el mismo que esta dada por la fórmula 
. Analice los ejemplos 6 y 8 de las páginas 217 y 218.
Analizando los gráficos de la función cuadrática, se puede concluir que el dominio de una función cuadrática son los números reales y el rango desde la ordenada del vértice hacia arriba o hacia abajo.
[editar] OPERACIONES SOBRE FUNCIONES.
- Lea y analice los contenidos de las páginas 229 a 235
Con las funciones es posible realizar las cuatro operaciones fundamentales es decir, sumar, restar, multiplicar y dividir funciones. El resultado de estas operaciones son otras funciones en las que ha variado simplemente la forma y sus dominios. Los dominios serán las intersecciones de sus dominios (puesto que el dominio es un conjunto numérico es posible realizar esta operación conjuntista).
Este tipo de operaciones no trae consigo ninguna dificultad, pues deberá recordar simplemente como se realizan las operaciones fundamentales con expresiones algebraicas (Analice los ejercicios resueltos 1 y 2 de la página 229, observe y comprenda el cuadro de la página misma página). Un ejemplo claro de operaciones con funciones es un polinomio, si a este lo consideramos como una combinación de sumas y restas de varias funciones. El gráfico de estas funciones se las puede realizar por suma de coordenadas o se pueden graficar de la forma ya descrita anteriormente.
Composición de funciones.- La función composición esta simbolizada por ° y se define así:
- Sea el gráfico.
Sea ƒ una función de E a D y sea g una función de E a K. La función composición g of (que se lee “g o f ”) es la función de D a K definida por:
Podemos ilustrar la definición con el siguiente ejemplo: Sea f(x)=x-2 y g(x)=5+√x, Hallar (g of)(x) y su dominio. Solución.
- Las sustituciones formales dan lo siguiente:
(Definición de g Of)
(Definición de f)
(Definición de 'g)
(Simplificación y resultado)
El dominio de ƒ es el conjunto de todos los reales; sin embargo, la última igualdad implica que (g of)(x) es un número real sí x ≥ 2. Así el dominio de la función composición g of está en el intervalo [2,∞). Fíjese en los ejemplos 3 y 4 de las páginas 231 y 232, en las cuales el autor expone y explica los procedimientos seguidos. El siguiente ejemplo ilustra una aplicación práctica de la composición de funciones, que aunque no esta en nuestro campo nos ayudará a comprender mejor. Un globo esférico de juguete se infla con gas helio. Si el radio del globo cambia a razón de 1,5 centímetros cada segundo, expresar el volumen V del globo como una función del tiempo. Solución. Suponiendo que es el radio del globo.
- Se supone que inicialmente el radio del globo es 0.
- Después de t segundos x=1.5t (radio del globo después de t segundos)
- El volumen de una esfera de radio x está dada por
- El volumen de una esfera de radio x está dada por
- Esta es una relación en forma de comparación de funciones, en la que V es una función de x y;x es una función de t. Sustituyendo se tiene:
A partir del conocimiento del gráfico de una función específica, se pueden graficar otras, mediante traslación (aplicando suma o diferencia de funciones y composición de funciones), a partir de las siguientes reglas generales:
[editar] Capitulo4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
Este capítulo en su texto guía es muy extenso, solamente usted analice y estudie los subcapítulos mencionados en esta guía didáctica.
Una función polinomial tiene la forma 
, son números enteros no negativos. Si el coeficiente 
se dice entonces que la función polinomial es de grado n, el número 
se denomina coeficiente principal del polinomio.
- Retomando la forma de una función polinomial ƒ de grado n; esto es
y analizando tenemos:
- Retomando la forma de una función polinomial ƒ de grado n; esto es
- Para
. El dominio de ƒ son todos los reales.
- Para
- Debe recordar que sí f(c)=0, entonces c es un cero de ƒ o bien de f(x).
- También se conoce a c como solución o raíz de la ecuación f(x)=0. Los ceros de ƒ son las intercepciones x de la gráfica de ƒ.
[editar] FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO MAYOR QUE 2
- Lea los contenidos de las páginas 248 a 263.
En este caso si n = 1, la gráfica de ƒ es una recta; si n = 2, la gráfica es una parábola con vértice en el origen. El siguiente ejemplo le ilustra otros casos con n = 3.
Trazar la gráfica de ƒ sí
.
La siguiente tabla muestra varios puntos de la gráfica
.
Como ƒ es una función impar, la gráfica de ƒ es simétrica con respecto al origen y por tanto los puntos (-1/2, -1/16), (-1,-1/2), etc., son también puntos de la gráfica (obtenidos por simetría) que aparece a continuación
Sí
la gráfica se puede obtener a partir de la anterior, multiplicando las ordenadas por –1, esto equivale a reflejar la imagen a través del eje x, como aparece en la siguiente figura:
En general, sí
entonces un aumento en el valor numérico del coeficiente a tendrá como consecuencia que la gráfica crezca o decrezca mas tajantemente.
Sí
y n es un entero par, entonces la gráfica de ƒ es simétrica con respecto al eje y como se ilustra en la gráfica (a); para el caso en que |x|=1, se nota también que al aumentar el valor del exponente, la gráfica se aplana más en el origen figura (b)
Se requieren métodos que se estudian en cálculo para hacer un análisis completo sobre gráficas de funciones polinomiales de grado mayor que 2. Generalmente, a medida que el grado aumenta, la gráfica es más complicada. El estudio de este capítulo también tiene como objetivo graficar funciones polinomiales de tercero y cuarto grado que están factorizadas o que se pueden factorizar. En la mayoría de los casos, se puede obtener una gráfica totalmente precisa utilizando el procedimiento sugerido a continuación:
| 1. Calcule f(-x) para determinar si la grafica tiene alguna simetria
2. Calcule el intersecto f(0) en y. 3. Factorice el polinomio 4. Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuacion f(x) = 0 5. Trace una recta numerica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicara donde f(x) > 0 y donde f(x) < 0. 6. Grafique la funcion utilizando los resultados de los pasos 1 - 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario. |
En los casos en los que f(x) son positivos, f(x)>0, la gráfica de la función está por encima del eje x. La gráfica de la función esta por debajo del eje x, en aquellos intervalos donde los valores f(x) de f(x) son negativos (f(x)<(0). Analice los ejercicios resueltos de las páginas 248 a 263. En el caso que nos interese encontrar soluciones reales de ecuaciones polinomiales con coeficientes reales se aplicarán algunas propiedades importantes de los polinomios, los que utilizando los teoremas descritos en su texto guía (teorema del residuo, teorema del factor, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de las n raíces). Temas que por el momento no son de análisis y que no se incluyen en este estudio (Si le queda tiempo puede analizarlos).
[editar] FUNCIONES RACIONALES
- Lea y analice los contenidos de las páginas 289 a 303
Las funciones racionales se definen en términos de cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una función racional sí:
P(x), Q(x) son polinomios; el dominio de R es el conjunto de todos los números reales tales que Q(x)≠0. Las funciones racionales son continuas para todo valor de , con excepción de aquellos para los que el denominador Q(x) es cero.
Para graficar una función racional, comenzamos como antes: determinamos cualquier simetría y luego hallamos los intersectos. El intersecto en y es ƒ(0), siempre y cuando el número 0 esté en el dominio de ƒ. Por ejemplo, la gráfica de 
no atraviesa el eje x, puesto que f(x) no está definido (produce indeterminación al hallar la imagen de 0 en la función).
Asíntotas horizontales y verticales.- Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica, se llaman asíntotas.
Para indicar que se aproxima a un número a, utilizamos la simbología expuesta en la página 291 explicada con los gráficos respectivos.
A continuación se ilustran los métodos generales para localizar asíntotas verticales de funciones racionales:
| Asíntotas Verticales |
| Se dice que una recta x=a es una asíntota vertical para la gráfica de una función ƒ sí:
|
| Asíntotas Horizontales |
| Se dice que una recta y=c es una asíntota horizontal para la gráfica de una función ƒ sí: |
