De Computacion

El Cálculo pertenece al grupo de materias denominadas del “Área Matemática” propiamente dicha,posee contenidos básicos indispensables a todo estudiante que se interese por las ciencias técnicas,cualquiera sea su orientación ( Ingeniería informática, eléctrica, ciencias contables, administrativas,económicas, actuariales, etc). Y se puede afirmar sin error que todo profesional técnico no podrá leercon soltura la bibliografía actualizada de nivel superior, sin poseer los conceptos básicos del Cálculo. Esta asignatura exige conocimientos de Álgebra y recordar los contenidos de Geometría. Debe mencionarse que resulta imprescindible el conocimiento de elementos básicos de Geometría Analítica del plano, para adquirir con provecho los conceptos de nuestra asignatura. La carencia en la mayoría de los alumnos de estos tópicos dificultan la enseñanza y el aprendizaje de nuestra disciplina, aconsejando que sea repasado convenientemente el módulo de preparación para el Cálculo.

Tabla de contenidos 1 Objetivos Generales 2 Objetivos Especificos 3 Bibliografía 4 Desarrollo del Aprendizaje 4.1 Módulo : p 4.2 Modulo 1: Limites y sus propiedades 4.2.1 Continuidad y límites laterales o unilaterales 4.2.2 Límites Infinitos 4.3 Modulo 2: La Derivada 4.4 Modulo 3: Regla de la cadena 4.4.1 La regla de la Cadena 4.4.2 Derivación de funciones Implícitas 4.4.3 Ritmos o velocidades relacionados 4.5 Modulo 4: Aplicaciones de la Derivada 4.5.1 Teorema de Rolle y teorema del valor medio 4.5.2 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada 4.5.3 Concavidad y el criterio de la segunda derivada 4.5.4 Limites al infinito 4.5.5 Análisis de Graficas 4.5.6 Problemas de Optimización

Objetivos Generales

• En este curso se pretende que el estudiante aprenda a utilizar el Cálculo en la solución de problemas matemáticos que puedan presentarse a lo largo de sus estudios y en la carrera

profesional.

Objetivos Especificos

• Determinar los límites de una función.
• Determinar la continuidad de una función en un punto.
• Aplicar los teoremas sobre diferenciación a la derivación de funciones.
• Aplicar el concepto sobre derivada para la solución de problemas en donde existen ritmos de cambio continuo.

Bibliografía

Texto Básico:

• LARSON R., HOSTETLER R., EDWARDS B., Cálculo I, 8va edición, Editorial McGraw-Hill Interamericana, México © 2006

Este libro se ha escogido por su interesante y clara exposición de los temas, un enfoque moderno y desde luego sus múltiples aplicaciones del Cálculo en la solución de problemas técnicos. El texto esta organizado en 9 capítulos, de los cuales nosotros vamos a revisar solamente los tres primeros, como es ya tradicional en nuestro país al impartir esta asignatura. El libro es bastante didáctico, y los conceptos fundamentales se exponen con mucha claridad a lo largo de todo el libro comenzando por más sencillo hasta lo más complejo. Además el texto le permitirá disponer de otros temas en los cuales Ud. puede

emprender individualmente.

Bibliografía complementaria:

• Robert Smith y Roland Minton, Cálculo, Tomo 1, Primera Ed. McGraw-Hill, Bogotá, 2000.

Este libro es didáctico, tiene un enfoque moderno y muchas aplicaciones en la solución de problemas técnicos del diario vivir. Este le puede servir como texto adicional.

• Lara J. Arroba R. Análisis Matemático, Centro de Matemática de la Universidad Central.1982.

En este libro se exponen los temas desde un punto de vista más formal, y le puede ayudar a desarrollar más destrezas para el dominio de este apasionante tema de la matemática.

• Purcell,E. Varberg, D. Cálculo diferencial e integral, Sexta Ed. Prentice Hall. México,1993.

Este texto también le puede servir en mucho por cuanto trae abundante información relacionada con los temas que tratamos.

En general cualquier libro sobre el tema le va a servir de mucha ayuda por cuanto como Ud. conoce no hay libro malo, siempre se encuentra algo, siempre se aprende algo de cualquier libro.

Desarrollo del Aprendizaje

Se recomienda que Ud. distinguido estudiante, lea primeramente las páginas de 10 a 13 antes de iniciar la lectura del texto, ya que revisamos un poco acerca de los número reales. Luego de que termine de analizar estos tópicos; podemos iniciar la lectura del texto comenzando por la gráfica de una ecuación en la página 2.

Con estas propiedades y entendiendo que a, b, c representan cualquier número real podemos pasar a revisar un poco la recta numérica:

Si a esta a la izquierda de b, se dice que a es menor que b y se escribe así: a < b .

Así de esa forma también se pueden tratar a las relaciones de mayor que (>) y de menor que (<).

De la misma forma resumimos las propiedades de las desigualdades o inecuaciones:

a) Si a < b y c es cualquier número real se tiene: a + c < b + c

b) Si a < b y c es positivo, entonces a ⋅ c < b ⋅ c

c) Si a < b y c es negativo, se tiene que a ⋅ c > b ⋅ c

Obsérvese la propiedad a indica que se puede sumar a ambos miembros una misma cantidad y esta relación no se altera, (sigue siendo menor que).

La segunda manifiesta que se puede multiplicar por un número positivo, y esta relación no se altera (sigue siendo menor que).

Mientras que al multiplicarse por un número negativo, esta relación cambia de sentido (cambia a mayor que).

Existen algunas inecuaciones llamadas simultáneas como por ejemplo:

a < x < b lo cual significa que se da tanto que a < x y que x < b , fíjese que ese “ y “ es muy importante por cuanto significa que el conjunto de valores que convierten en verdadero el enunciado anterior esta en la intersección de los conjuntos determinados por las relaciones anteriores a < x y que x < b o señalándolo de otra forma sería que a < x y x < b deben observarse al mismo tiempo.

Miremos el siguiente ejemplo:

Resolver la siguiente inecuación: −7 ≤ 2x + 1< 19

Del problema, se deduce que: a) −7 ≤ 2x + 1

b) 2x + 1< 19

Tomando la expresión a tenemos que: −7 − 1≤ 2x
Luego
−4 ≤ x

De la parte b igualmente tenemos:

2x + 1− 1< 19 − 1, luego se tiene que:

Finalmente se tiene que x < 9

Es decir la solución esta en la intersección entre x < 9 y −4 ≤ x

La solución expresada como intervalo sería:[−4,9).

Cuando se resuelven desigualdades que llevan fracciones, es necesario que estas estén relacionadas con respecto de cero.

Miremos el siguiente ejemplo:
Resolver la siguiente desigualdad: .

En este caso en necesario pasar el -1 a la izquierda, para no perder el hecho de que para que la desigualdad tenga sentido, no debe existir la división por cero. Por eso se tiene:

Luego se tiene,

Como podemos observar, para que este cociente tenga sentido, se debe considerar dos cosas: que la razón entre estos dos números sea positiva, tanto numerador y denominador deben tener el mismo signo y que el numerador sea cero, es decir 2x − 3 ≥ 0 y x − 2 ≥ 0 - ambos son positivos o 2x − 3 ≤ 0 y x − 2 ≤ 0 - ambos son negativos.

Sin embargo no se debe perder de vista que x-2≠ 0. (evitamos la división por cero). De la primera relación, se tiene que:

De la segunda relación se tiene: y x < −2

De los diagramas realizados, se tiene el conjunto solución que es:

x ∈ (−∞,3 / 2)∪ (2,∞)

Una definición que se emplea muy a menudo en el Cálculo es el de valor absoluto, cuya definición es como sigue:

Esta definición requiere de interpretación y es la siguiente: ella dice, si x es un número positivo, entonces tómese el mismo número y si este es negativo, entonces tómese el número cambiado de signo. Por lo tanto podemos decir que el valor absoluto siempre es positivo.

Por ejemplo:

Si x = 4, entonces |4| = 4 Hemos tomado el mismo número,

Si x = - 4, entonces |−4| = −(−4) = 4 . Hemos tomado el número con el signo cambiado.

De igual forma se tiene para una función

La definición de valor absoluto, nos lleva a lo que conocemos como la distancia entre dos puntos.

Consideremos dos puntos ubicados en la recta real, entonces la distancia entre estos se representa como |a − b| . Véase el gráfico.

Así mismo, el valor absoluto nos puede llevar a plantear desigualdades con valor absoluto.

Analicemos el siguiente ejemplo:

Resolver la siguiente desigualdad:

|x − 2| < 5

Por la definición de valor absoluto se tiene dos alternativas:

x − 2 < 5 y − (x − 2) < 5

Es decir se tiene:

x < 7 y x > −3

Tratemos de llevar todas estas relaciones a la recta real,

Como vemos, hemos buscado el conjunto de números tales que la distancia hasta el punto 2 sea menor que 5.

Como resultado de todo este análisis tenemos que x ∈ (−3, 7).

En el presente curso nos vamos a dedicar al estudio de las relaciones numéricas, para lo cual; como una herramienta poderosa vamos a utilizar el plano Cartesiano. Un punto en el plano suele escribirse siempre de la forma P(x, y), en donde x es la primera componente y = f(x) y la segunda componente. Muchas de las ideas del Cálculo se comprenden con la ayuda de gráficos, es por esto Ud. debe conocer y realizar los gráficos de las funciones más conocidas.

Como por ejemplo: y = x2 , y = x3 , y = sin(x), y = cos(x) .

Algunos de los gráficos se dan en la página 22 del texto.

Módulo : p

Lea detenidamente este módulo ya que aquí se explican algunas de las herramientas que utiliza el Cálculo y que a lo mejor Ud ya los olvido. Para confeccionar una gráfica en el plano cartesiano, hay que tener en cuenta algunos puntos característicos de ésta, tales como puntos de intersección con los ejes, simetrías, puntos máximos y mínimos, puntos de inflexión; estos tres últimos se los revisará en el segundo bimestre.

Estos tópicos los puede ver en las páginas 4-6 del libro texto.

Resumen de ecuaciones de la recta Podemos resumir los varios tipos de ecuaciones de la recta usados, lo importante es reconocer cuales son los datos con que contamos:

a) Ecuación de los dos puntos:

b) Ecuación punto pendiente:

c) Ecuación con ordenada en el origen

y = mx + b

d) Ecuación simétrica abscisa ordenada al origen.

e) Ecuación general de la recta

Ax +By + C = 0

Debemos tener a mano las formas matemáticas de la ecuación de recta y los datos que se necesitan para determinarla.

Ud debe conocer como se identifican rectas paralelas y rectas perpendiculares.

Se dice que dos rectas son perpendiculares mutuamente, si el producto de sus pendientes es menos uno.

Así, si representa a la pendiente de la recta y entonces se tiene que: = - 1 O lo que es lo mismo

Analicemos el siguiente ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta cuya ecuación es: 2x − y − 3 = 0 y pasa por el punto P(-1, 2 ).

De lo anteriormente señalado, se tiene: si y representan a las pendientes de esas rectas, entonces =-1.

Si hacemos que m1 represente la pendiente de la recta 2x − y − 3 = 0 , entonces m2 representará la pendiente de la recta buscada, es decir .

De la ecuación dada se tiene que, la ecuación es del tipo Ax +By + C = 0 en donde . Por tanto, se tiene que .

Recordando que el producto de las pendientes es - 1, se tiene que

Se conoce que el punto P(-1, 2 ) y la pendiente de la ecuación buscada por tanto utilizamos la forma de la ecuación de la recta punto pendiente cuya forma es:

En donde las coordenadas y , representan las coordenadas del punto conocido P, m representa su pendiente y, x y representan a las coordenadas genéricas de la recta.

Sustituyendo los datos en la ecuación, se tiene:De donde finalmente la ecuación buscada es:

x + 2y − 3 = 0

Dibujando en el plano cartesiano, tenemos.

Funciones y sus gráficas Muchas de las relaciones que se estudian en matemática son relaciones numéricas, es decir una correspondencia que se establece entre los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto; podemos tener relaciones como “hijo de”, “padre de”, “perpendicular a”, “paralelo a”, “cuadrado de”, en fin tenemos un gran número de relaciones, estas relaciones pueden ser de un elemento a varios, de uno a uno, de varios a uno, etc. Dentro de este tipo de relaciones, existen las relaciones que se establecen entre cada elemento de un conjunto con cada elemento de otro conjunto, a este tipo de relaciones se las llama funciones.

Al conjunto del cual se toma los elementos para establecer la correspondencia, se denomina Dominio, mientras que el conjunto para el cual se encontraron los elementos de correspondencia, se denomina Recorrido.

Para reconocer si una gráfica corresponde al de una función, lo que hace es trazar una recta paralela al eje y, y si esta corta a la gráfica en un solo punto, entonces se trata de una función. Caso contrario no lo es.

El éxito de aprendizaje del Cálculo tiene que ver el apoyo que se le de a las ideas de este, este apoyo puede ser gráfico, numérico o analítico.

Si una función tiene la forma de:

En donde, y nson enteros, se dice que es una función polinómica entera.

Si una función tiene la forma , Q(x) ≠ 0 se denomina función racional.

Tenemos algunos ejemplos:

¿Indique a qué tipo de función pertenecen las siguientes funciones?:
........ Polinómica
........ Racional
......... Polinómica
Ahora vamos a confeccionar algunas gráficas de funciones.

Revisar la página 22.

Graficar la siguiente función f(x) = -4.

Primeramente construimos una tabla de valores

x	.-3,5	.-3	.-2,5	.-2	.-1,5	.-1	.-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
f(x)	8,25	5	2,25	0	.-1,75	.-3	.-3,75	.-4	.-3,75	.-3	.-1,75	0	2,25	5

• La tabla de valores se puede calcular con la ayuda del Excel

• • Los valores trazados con negrita son las intersecciones con los ejes

Seguidamente pasamos a revisar algunas otras funciones periódicas.

En todo fenómeno repetitivo (periódico o no periódico), las funciones seno y coseno siempre están presentes, sobre todo en el campo de las telecomunicaciones, climas, etc.

Así tenemos a las funciones seno, coseno, impulso unitario y el tren de impulsos.

Las funciones impulso unitario y tren de impulsos, tienen dentro de su composición un número muy grande de senos y cosenos.

El impulso unitario no es repetitivo mientras que el tren de impulsos es una función que se repite luego se cierto tiempo.

¿Puede Ud pensar en otros tipos de funciones que se repiten luego de cierto tiempo?

Hay un grupo de funciones que suelen denominarse cuasi-periódicas aquí un ejemplo:

El gráfico de la misma es:

Como Ud. observa, se trata de una función periódica, pero; en este caso las amplitudes van disminuyendo conforme aumenta la variable independiente. En general se dice que una función es periódica, si se cumple que f(x) = f(x + nT) , en donde T se denomina período fundamental y n es un número entero.

Las funciones más usadas son el seno y el coseno, las cuales se las simboliza así: sen(x) - se lee seno de x cos(x) - se lee coseno de x

Así como a la función f se le asigna un argumento (x), el cual se escribe f(x); a las funciones trigonométricas hay que asignárseles un argumento (x). De esto Ud. podrá darse cuenta que no se escribe simplemente sen, cos o tan, sino sen(x), cos(x) o tan(x). Lo mismo ocurre con sus funciones inversas como .

Existen dos unidades que se emplean para las funciones trigonométricas, estas son el grado y el radian.

Una manera sencilla de transformar grados a radianes y de radianes a grados, es la siguiente:

Transformación de grados a radianes

Sea un ángulo en grados, entonces:

Para transformar de radianes a grados
Sea un ángulo en radianes, entonces:

Construyamos el gráfico de la función seno

x	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7
f(x)	0	0.48	0.84	1	0.91	0.6	0.14	.-0.4	.-0.8	.-0.97	.-0.96	.-0.7	.-0.3	0.22	0.66

Si usa calculador verifique si las unidades son Rad o Deg. No confundir con la unidad Grad, que es otra mediada de ángulos que divide a la circunferencia en 400 partes, esta unidad no la usaremos.

¿Al graficar la función f(x) = cos(10x) , x en que unidades debe estar en grados o en radianes?

Recuerde que el lenguaje del Cálculo es el de funciones, es por eso que si Ud. conoce el gráfico de una función; puede más o menos predecir el comportamiento de ella y reconocer algunas de sus propiedades.

Las funciones Exponenciales y las funciones Logarítmicas tienen especial importancia ya que mediante este tipo de funciones son muy utilizadas en el Cálculo, cuyo análisis se realizará en el siguiente semestre en Cálculo II.

Una vez conocido algunas de las funciones que se manejan en el Cálculo, pasamos a revisar algunas operaciones que se pueden realizar con funciones. Es importante tener en cuenta los dominios de definición de las funciones y sobre todo el dominio de definición de la resultante de una operación dada entre funciones.

¿La función dada f(x) =es una función potencial Respuesta ( ). ?

Transformación de funciones

Algunas funciones tienen la misma forma pero diferente posición respecto del plano cartesiano. Muy importante para graficar una función es conocer los desplazamientos que esta puede tener en relación con los ejes coordenados.

Analicemos un ejemplo:

Graficar la siguiente función:
f(x) =− 2
Dibujemos primero el gráfico de

De este gráfico podemos construir el gráfico de la función f(x) =− 2], sabiendo simplemente que lo que ha hecho es multiplicarse por 0.5 en el eje vertical, y se ha desplazado dos unidades hacia abajo.

Revisar la página 23, en donde se da una tabla de transformaciones de una función

El encontrar los puntos de intersección con el eje de las x, es resolver la ecuación f(x) = 0.

Para resolver la ecuación f(x) = 0, se puede utilizar diferentes métodos, tales como la factorización, por tanteo, o algún método numérico, como por ejemplo el método de bisección, el método de Newton, etc. En estos métodos el gráfico del polinomio da información muy importante para poder darse una “semilla” inicial de la raíz. En general cualquier polinomio de grado n tiene n raíces, las cuales pueden ser reales o imaginarias.

Clasificación y combinación de funciones

Muy importante sino talvez el más importante, es el concepto de función compuesta para el desarrollo del Cálculo.

El concepto de función compuesta debe estar claro ya que nos servirá de mucha ayuda para trabajar con funciones mucho más complejas, derivar funciones más complejas, etc.

En la página 24 una breve clasificación de las funciones elementales

Analicemos un ejemplo sobre funciones compuestas.

Sea f(x) =y g(x) = 4 / x . Hallar la composición de:

a) f o g(x)

b) g o f(x)

a) f o g(x) = f(g(x)) = f(4 / x) =Observe que el argumento de f(x) es la función g(x).

f o g(x) = En este caso hemos resuelto la fracción

f o g(x) = Por definición , entonces sustituimos en el denominador de la función, lo que nos da finalmente:

f o g(x) =

b) g o f(x) = g(f(x)) =.Observe que el argumento de g(x) lo constituye la función f(x).

Como puede observar, una función a su vez puede ser argumento de otra función.

Revise con detenimiento los ejemplos de las páginas 25-26 los cuales le darán una idea global y clara de la composición de funciones.

IMPORTANTE:

f o g(x) ≠ g o f(x)

Revisemos algunos ejercicios adicionales

1. Verifique si la función y = x es una función par.

Sea x =, la definición del valor absoluto.

Una función es par; si verifica que f(x) = f(-x)

Gráficamente, la función debe ser simétrica respecto del eje de las y. Se tiene entonces que

f(x) = x si x ≥ 0 .

También podemos escribir f(−x) = −(−x) = x , si x < 0 .

Como f(x) = f(-x).

Por tanto

f(x) = x es una función par.

Como se puede observar del gráfico, la figura es simétrica con respecto al eje de las y.

2. Encuentre el Dominio de la siguiente función t(x) =

Para que la función tenga sentido, la cantidad subradical tiene que ser cero o mayor que cero ya que solo para esos casos existe la raíz real par.

La función dada se puede escribir de otra forma: t(x) =

De lo que seduce que: x − 1> 0 , y x − 1≠ 0 , ya que de lo contrario, la función carecería de sentido.

De x − 1> 0 , se deduce que x > 1, a condición de que el denominador no sea cero, despreciamos la igualdad.

Por tanto conjugando las dos condiciones anteriores se tiene que el dominio de la función es:

Dt = (1,∞ ) .

3. Para la función f(x) = encuentre f(1/x),

Calculamos f(1/x):
. Sustituimos en el lugar de x ponemos 1/x, y resolvemos las operaciones indicadas. De lo cual resulta.

Modulo 1: Limites y sus propiedades

Y sobre todo que:

```El límite de una función, no depende si la función esta o no definida en el punto, esta puede estar o no definida en el punto.```

Veamos otro ejemplo sobre lo dicho.

Calcular el límite de la función en el punto x = 3,

Hemos factorizado el numerador

Hemos simplificado el término semejante.

Se tiene que Como puede observar, la función no esta definida para x = 3; pero calculando el límite, este es igual a 5.

IMPORTANTE:

• Se debe señalar que si bien no se dan el dominio de definición de las funciones, el dominio de éstas será el conjunto donde las funciones tengan sentido.

Una observación muy importante es la siguiente:

Analicemos un poco más el ejemplo anterior:

Sea factorizando el numerador, se tiene que se sobre entiende que x no puede tomar el valor de 3 (x ≠ 3) ya que se tendría una división por cero (0/0), lo cual no tiene sentido desde el punto de vista matemático. Luego si simplificamos el término x – 3, obtenemos una nueva función.

g(x) x 2

Fíjese que f(x) ≠ g(x) , ya que sus dominios no son iguales.

Si construimos los gráficos de estas dos funciones, tenemos:

Los gráficos nos muestran que las funciones son diferentes ya que en el punto x 3, la función no esta definida.

Ahora Ud. se preguntará cómo es que entonces se escribe:

Lo que pasa es que cuando nosotros analizamos el límite, no tomamos el valor x 3 , (no sustituimos el valor de 3 directamente con el de x en la función); si no, tomamos valores cercanos a 3. (x 3). De ahí que se pueda simplificar el término x -3 por cuanto éste aunque es un número pequeño, éste sin embargo nunca es cero, de ahí que no se requiere que la función este definida en el punto.

• En general cuando se calcula el límite de una función en el que al sustituir directamente el valor de la variable en la expresión se obtiene una indeterminación del tipo 0/0. Lo que primero que se debe realizar es, liberarse del término que causa esta indeterminación mediante la racionalización del numerador o denominador según convenga o realizar cualquier artificio matemático.

Veamos el siguiente ejemplo:

Calcular el límite de la siguiente función:

Al reemplazar directamente x por 4, se tiene una indeterminación de la forma 0/0. Lo que implica que se debe racionalizar la expresión.

Multiplicamos y dividimos al mismo tiempo por la conjugada (la conjugada de un monomio es el mismo monomio cambiado de signo). Esto esta permitido ya que en realidad lo que se esta haciendo es multiplicando por 1.

Así vemos que los dos primeros términos nos dan el producto de la suma por la diferencia, lo cual se descompone en la diferencia de cuadrados, que al desarrollarlo queda como se tiene en la parte inferior.

Lo mismo se tiene con los dos primeros términos del denominador de la expresión

Aquí simplificamos términos iguales

Evaluando el límite ahora que no se tiene ningún tipo de indeterminación, se tiene que:

Como puede observar se tenía una indeterminación del tipo 0/0, al sustituir directamente, pero hemos procedido a racionalizar numerador y denominador de tal manera de eliminar el término (x - 4) el cual es el causante de la indeterminación. Finalmente tenemos que:

Analice los comentarios asociados sobre la existencia del límite en la página 51.

IMPORTANTE:

• Para la definición formal de límite, por tradición se han empleado las letras griegas ε y δ que representan números arbitrarios los cuales nos indican cuan cerca esta un número x de un número c y lo mismo cuan cerca esta F(x) de L. Es decir, ε y δ simplemente nos sirven de referencia para poder decidir si un número tomado x esta cerca del punto c o no, y lo mismo de F(x) cerca o no de L.

Todo lo dicho se plantea de la siguiente manera:

0 x -c δ. La distancia desde x hasta el punto c tiene que estar comprendido entre cero y δ.

|f(x) – L| ε, La distancia desde el punto f(x) hasta el punto L tiene que ser menor que ε.

Por lo general, cuando se trata de demostrar que un número L es el límite de cierta expresión en un punto c dado, se encuentra que δes una porción o múltiplo de ε (δf (ε)).

Con respecto a los límites laterales, entender la simbología es importante, por eso debemos tomar en cuenta que:

El símbolo significa que nos acercamos al punto c por la derecha, es decir tomamos valores de x mayores que el número c, pero cada vez más y más cercanos al punto c.

De la misma manera el símbolo significa que nos acercamos al punto c por la izquierda, es decir tomamos valores de x menores que número c, pero muy cercanos al punto c.

Si analizamos un punto dentro de la gráfica de una función, para indicar que el punto c no existe, se dibuja y se indica así:

Si analizamos un punto dentro de la gráfica de una función, para indicar que el punto c si existe, se dibuja y se indica así:

Hay que tener mucho cuidado cuando nos aproximamos al punto en donde se requiere encontrar el límite de la función; pero, debe quedar claro que el límite no depende de la forma como nos aproximamos al punto.

Veamos un ejemplo:

Supongamos que el gráfico de una función es el que se da en la figura inferior.

Encontremos los límites pedidos por simple observación:

• El límite no depende de la forma como nos aproximamos al punto.

Ahora que ya tenemos una idea de lo que es el límite de una función, podemos aplicar algunos teoremas para calcular límites de algunas funciones.

Analice los teoremas 1.1 a 1.7 en la página 59 a 62 y su aplicación a la solución de problemas sobre límites.

Veamos algunos ejemplos adicionales sobre límites:

1. Calcular los siguientes límites:

a)

Al sustituir el valor de x por 4, se tiene una fracción del tipo 0/0 que la función

Por eso es necesario deshacerse de la división por cero; para esto factoramos el denominador y vemos que se transforma en

Luego es simple evaluar al límite así

b)

c) Dado Hallar el siguiente límite

Fíjese que la variable sobre la cual se pide aproximar es h.

Nuevamente aquí ha habido que racionalizar el numerador para poder simplificar h que es el que causa la indeterminación.

d) recordando la identidad trigonométrica: Aquí hemos utilizado el teorema que indica que

Ver la página 65 en donde se habla sobre este teorema.

2. Demuestre que si una función tiene como límite el número L cuando x  c, éste es único.

Para probar este teorema suponemos que ```no existe unicidad```, es decir: Existen dos valores para los límites:

a)

b)

Tomando en cuenta que L ≠ M.

Probaremos que L M, probando que L ≠ M conduce al resultado absurdo de que:

|L – M| L – M|

De a tenemos que existe un tal que

Si entonces

Podemos hacer de que ya que L y M son números y ε puede ser cualquier número pequeño (recuerde L y M no son iguales).

Puesto que

De b, tenemos que existe un tal que:

Si

De acuerdo a las propiedades de las igualdades tenemos.

Se ha sumado y restado la función en la misma expresión para que la igualdad no se altere.

Por la desigualdad del triángulo se tiene que:

Este resultado es un absurdo, lo único que se puede aceptar es que L M.

Por tanto se puede concluir que el límite de una función en un punto si existe, este es único.

3. De una demostración formal de que para , el límite en el punto x = 0, no existe.

Para resolver este problema, vamos emplear el principio de ```demostración al absurdo```.

Vamos a suponer que sí existe límite de la función y este vale L (es único); en algún lugar del proceso nos vamos a encontrar con una contradicción para L, lo cual nos mostrará que lo supuesto inicialmente es falso (no es único), es decir el límite de la función no existe.

Por definición tenemos que:

Esto es: existe un δ > 0 tal que si 0 x – c| δf(x) – L| ε

Como εes un número arbitrario, escogemos ε1 (por facilidad), entonces tendremos que:

a) Si f (δ) ε1 entonces |1 – L| 1

b) Si f (-δ) ε1 entonces | –1–L| 1

Usando las propiedades de las desigualdades:

De a tenemos que:

1 – L 1 Λ -(1 - L) 1

L 0 ΛL 2

De donde resulta que L Є (0,2).

Así mismo de b tenemos que:

-1-L 1 Λ (-1-L) 1

L 2 Λ L 0

Al resolver estas desigualdades, se tiene que:

L Є (-2, 0) ∩ (2, 0)

De este resultado, tenemos que no hay punto común en los dos intervalos.

Por lo tanto el número buscado L no existe, es decir h(x) no tiene límite en el x = 0, con lo cual queda demostrado el problema.

Como puede ver, no hemos necesitado (en este caso) construir un gráfico para ayudarnos ya que es un problema puro del análisis matemático.

Sin embargo, construyamos el gráfico de esa función para visualizar la discontinuidad

Como podemos observar, existe un salto en los valores de la función cuando nos aproximamos por la izquierda y por la derecha al punto x = 0. Esto nos indica gráficamente que la función no tiene límite en el punto cero.

Lea la página 60, en ella se da algunas orientaciones para el Cálculo de límites.

Continuidad y límites laterales o unilaterales

Matemáticamente una función es continua en un punto (c), si se verifican tres criterios:
a)
b) f(c) debe estar definido.
c)
Revisar esta definición en la página 70.

Si alguna de las tres condiciones no se cumplen, podemos concluir que la función no es continua (es discontinua) en el punto c.

De los tres criterios expuestos anteriormente, se puede observar lo siguiente:

a) f(c) esta definido
b) existe, pero
c)
Si se da el caso anterior, se puede redefinir la función de tal manera de hacerla continua en el punto dado. Esto es:

Veamos el siguiente ejemplo.

Determine el valor de f(3) de tal manera que la función sea continua en el punto x=3

Calculemos su límite.

Si hacemos que f(3) = 5, entonces la función queda redefinida de la siguiente manera:

El gráfico de dicha función es

Límites Infinitos

Si los valores de una función se hacen cada vez más y más grandes tanto positivos como negativos cuando la variable independiente se acerca a cierto número, se dice que tiene límite infinito.

Revise las definiciones y teoremas sobre esto en la página 83 - 87.

Si la función toma cierto valor finito cuando la variable independiente toma valores muy grandes (∞) se dice que tiende al infinito.

Analicemos los gráficos de las siguientes funciones:

a)

Del gráfico, nos podemos dar cuenta que si tomamos valores de x cercanos a 2, pero menores que 2 , la función toma valores negativos muy grandes (−∞). Así mismo nos damos cuenta de que si nos aproximamos al punto x = 2 tomando valores de x cada vez más y más cercanos a 2, pero mayores , la función va tomando valores positivos cada vez más y más grandes (∞).

Esto matemáticamente se escribe:

a)

b)

Ahora analicemos una función cuando el valor de la variable independiente toma valores muy grandes.

b)

En este gráfico, podemos ver que si x toma valores negativos muy grandes (-∞), el valor de la función cada vez se acerca más y más a -2. Así mismo si el valor de x toma valores positivos más y más grandes (∞), de igual forma el valor de la función se va acercando a -2.

Esto matemáticamente se escribe:

a)

b)

Así, para la función , se tiene que x = -2, constituye una asíntota horizontal de la función.

Hablando de los límites infinitos, se debe destacar el hecho de que no se puede sustituir nunca la variable x por ∞ (infinito) puesto que éste no es un número real.

Entonces la expresión x tiende a ∞no significa que la variable x tienda o se acerque a algún número real, sino que crece indefinidamente o se le asignan valores arbitrariamente grandes.

El siguiente teorema sobre límites nos puede abreviar los Cálculos de límites:

Teorema.

a) Si n es un número entero positivo par, entonces

b) Si n es un número entero positivo impar, entonces

Ejemplo

Sea . Analizar los límites laterales en el punto x = 2.

Según el teorema, se tiene.

El comportamiento de la función se puede observar construyendo su gráfico:

2. Sea ¿Es posible encontrar f(0) para que f(x) sea continua? Indique cuál debe el valor de f(0)?

Si es posible puesto que la función si tiene límite en punto x = 0.

Se puede graficar esta función y comparar con los resultados obtenidos.

La función redefinida sería:

3. Sea encuentre el valor de f(0) para que la función sea continua en el punto.

Al sustituir directamente el valor de x en la función, esta nos da la forma indeterminada de la forma 0/0.

Para poder evaluar el límite de la función, entonces es necesario que se racionalice tanto numerador como denominador y así poder librarse de la indeterminación 0/0:

Completamos la diferencia de cubos en el denominador.

Recuerde que:

Por comparación vemos que en denominador nos falta el término

Así mismo en el numerador se procede a racionalizarlo para completar la diferencia de cuadrados.

Simplificando el término semejante, se tiene:

Como puede observar ya no existe ningún impedimento para evaluar este límite

Luego de haber encontrado el límite simplemente hacemos que Por tanto redefinida la función se tiene:

El gráfico de la función dada es la figura siguiente.

4. Encuentre los valores de a y b de tal manera que la función dada sea continua en todo R.

De la definición de continuidad se tiene:

a) Esto es el límite lateral derecho

Así mismo, podemos escribir para el límite lateral izquierdo, para el punto x = 1.

Tomando como criterio de que la función tiene límite en el punto, se tiene que:

Esto debido al teorema sobre continuidad en un punto.

b) Para el punto x = 3, se tiene que:

que es el límite lateral izquierdo

límite lateral derecho

De la aplicación de la definición de continuidad en los puntos donde la función debe ser continua, resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Resolviendo el sistema, resulta que: Reemplazando estos resultados en la función inicial dada, se tiene que:

El gráfico de la función se muestra en la parte inferior

Modulo 2: La Derivada

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La idea de derivada no surgió de la noche a la mañana, sino fue la conclusión de varios hechos que se dieron en la solución de algunos problemas en la mecánica Newtoniana. Newton precisamente llamó lo hoy conocemos como derivada, como Teoría de Fluxiones. Al mismo tiempo fue Leibniz quien trato en sus estudios la derivada, e incluso la notación que el utilizó hasta la presente fecha no ha cambiado en mucho.

Una manera de introducir el concepto de la derivada, es analizando la recta tangente a la curva.

Revise los ejemplos que se resuelven en la página 97 - 99 sobre la recta tangente a la curva.

La derivada se introduce como el límite de la razón de incrementos de la variable dependiente para la variable independiente cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. Esto como se puede observar es el Cálculo de un límite.

• El estudio de la derivada de una función en sí, entonces no es más que el estudio de un límite.

Resolvamos algunos ejercicios más de obtención de derivadas de funciones sencillas usando simplemente la definición de derivada.

Analicemos el siguiente ejemplo:

Sea la función Determine su derivada usando la definición de derivada

• Nótese que la variable de la función sobre la cual se calcula el límite es h.

Revise los teoremas de 2.1 a 2.9 y los ejercicios que se resuelven en el transcurso éstas son las reglas básicas para la derivación de funciones. Página 103 – 123.

Existen algunas formas de simbolizar a la derivada de una función. Revise la página 125 en donde se indica esto

• Al encontrar la derivada de una función estamos encontrando totalmente una nueva función. De ahí que las derivadas de orden superior son las primeras derivadas de otras derivadas.

Para iniciar el Cálculo de derivadas de las funciones trigonométricas, es necesario conocer algunos límites de funciones trigonométricas más importantes.

Revise con detenimiento el uso de los teoremas que están en la página 65.

Como puede ver nuevamente la idea de derivada no es más que un límite de una razón de incrementos.

• El estudiante no debe confundir la forma de derivar una función potencial con la forma de derivar una función exponencial. Recordemos sus formas

Función potencial;

```Función exponencial;``` (se estudiará su derivada en el siguiente semestre)

Analicemos algunos ejercicios:

Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

a)

El ejercicio así tal como se presenta no se lo puede resolver con lo que conocemos hasta el momento, ya que se trata de una función compuesta. Sin embargo, si resolvemos el cuadrado, la hemos transformado de tal modo que se pueda aplicar las expresiones que conocemos. Así:

Hemos aplicado la regla de derivación de una suma de funciones y adicionalmente la derivada de una constante por una función.

b) Se aplica la regla de derivación de una suma.

Cabe indicar que si requiere graficar una función trigonometría, los argumentos de estas funciones deben estar dados en radianes.

Precisamente los gráficos de la función y su derivada están a continuación:

c) Grafique la primera y la segunda derivada de la función

Se usó la regla de derivación para la suma de funciones

<br.

Aplicamos nuevamente las reglas de derivación para esta nueva función.

El gráfico es el siguiente:

d)
e)
f)
g)

Aquí hemos desarrollado el cuadrado del binomio

<br.

Aplicamos la derivada de una suma

<br.

Modulo 3: Regla de la cadena

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Al empezar este segundo bimestre Ud se habrá dado cuenta de que con las reglas que se tienen hasta el momento para derivar funciones, éstas son limitadas a expresiones sencillas, pero; que hacer cuando se tiene expresiones como la siguiente , resulta que es prácticamente imposible derivarla. Sin embargo en su ayuda viene la regla de la cadena, regla que con ella, podemos derivar funciones compuestas y desde luego que puede ayudarnos ya que la expresión anterior es justamente una función compuesta.

La regla de la Cadena

Ud. puede revisar nuevamente el concepto de función compuesta en la página 25.

Para tratar con mayor detenimiento este tema, refiérase a la página 131, en donde se da demostración del teorema para derivar funciones compuestas.

Considere la función w = f(v) y a su vez considere que v = g(x): tenemos que para w, f es la función cuyo argumento es v, a la vez v es función de g, que tiene como argumento a x. Ahora podemos analizar la derivada de una función compuesta, como la derivada de la función por la derivada del argumento de esa función.

Esto es:

En la página 136, se resumen en un tabla, las derivadas de funciones compuestas que UD debe memorizar y el problema consiste en reconocer que tipo de función es, cual es la función misma y cual es el argumento.

Una buena manera de hacerlo es resolviendo algunos ejercicios. Veamos:

Encontrar la derivada de las siguientes funciones.

a) Hagamos que, v = 1+x entonces se tiene que . Al aplicar el la regla de la derivada se tiene:

b) Si hacemos que v = x - 1 y u = x + 1 y además y = √w , en donde w = v 7 u

Aquí se debe derivar la raíz de un cociente de dos funciones.

Como se observa, la primera parte de la expresión constituye la derivada de la función misma, mientras que la segunda parte es la derivada del argumento de la función.

Derivando el argumento como un cociente, se tiene que:

Reduciendo términos se tiene que:

c)
d)
e)
f)

g)
h) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y que pasen por el punto P(2, 1).

Conocemos que gráficamente la primera derivada de la función es la pendiente de la recta tangente al punto, entonces

Sea Q(x , y) un punto de la curva, es decir

Conociendo que la ecuación de una recta es: , en donde

Por tanto:

. Factorizando y resolviendo para x la expresión se tiene:

, De lo cual se obtiene que:

Tomando estos valores para las pendientes, encontramos que: este resultado nos indica que existen tres rectas tangentes a la curva dada y que pasan por el punto P(2,1).

• Anteriormente se había indicado , tiene como derivada a Pero solo para el caso en que n es un número racional. Ahora con la ayuda de la regla de la cadena se demuestra cualquier número real.

Derivación de funciones Implícitas

Un gran grupo de funciones son las funciones implícitas. Preste atención a la explicación y a como se encuentra la primera y las derivadas de orden superior de estas funciones en la página 141 en adelante.

¿Una función implícita es aquella en donde la variable dependiente esta descubierta? Respuesta ( )

Analicemos un ejercicio sobre derivada de funciones implícitas

Encuentre la segunda derivada de la siguiente función implícita:

Encontremos la primera derivada de la función:
, para esto tratamos a la función como si y fuera dependiente de x.

Para encontrar la segunda derivada, tomamos la derivada de la primera derivada obtenida y tomando en cuenta que esta es una nueva función, se tiene:

Aquí hemos aplicado la regla de derivación de una constante por una función, observe que los términos entre corchetes corresponden a los términos que tienen la derivada de un cociente (la primera derivada).

aquí sustituimos el valor de
Resolviendo las operaciones indicadas, se tiene. <br.

Ritmos o velocidades relacionados

En la mayoría de problemas sobre ritmos relacionados, los parámetros del problema dado casi siempre son dependientes del tiempo. Ud. debe discriminar cual de ellos se mantienen constantes y cuales son variables. Al tener presente y proceder a derivarlos, necesariamente se debe utilizar la regla de la cadena.

Revise los consejos que se dan en la página 150 - 153.

Veamos algunos ejemplos más.

1. Una fabrica de productos electrónicos calcula que el costo de producir x componentes para juguetes de tal tipo esta dado por: Calcular el costo, el costo medio y el costo marginal por la producción de 500 unidades.

Nótese la diferencia entre estos dos últimos resultados en si los conceptos casi son los mismos

2. Un obrero levanta con la ayuda de una soga, un tablón hasta lo alto de un edificio en construcción. Supongamos que el otro extremo del tablón sigue una trayectoria perpendicular a la pared y que el obrero mueve el tablón a razón de 0.15m/s. ¿A qué ritmo se desliza por el suelo el extremo cuando está a 2.5 m de la pared?

Del teorema de Pitágoras se tiene que derivamos a la expresión como función implícita tomando en cuenta que el tablón no cambia de longitud. Se tiene: de donde

En la expresión, se tiene que y = 4.33 obtenido del teorema de Pitágoras.

3. Los Pinnípedos como las focas y las morsas, son un suborden de los mamíferos acuáticos carnívoros cuyas extremidades se han convertido en aletas. La relación de su longitud y el peso durante su crecimiento fetal esta dada por: en donde L se da en centímetros y W en kilogramos. Encuentre una fórmula para la tasa de crecimiento del peso con respecto al tiempo. Cuál es la taza de crecimiento de su longitud? Si una foca pesa 0.5 Kg y crece a razón de 0.4Kg/mes. ¿Cuál es la taza de crecimiento de su longitud?

Derivando la relación dada como función compuesta dependiente del tiempo, se tiene:
que es la tasa de crecimiento del peso.
Además se nos pide encontrar la tasa de crecimiento de su longitud,

Para el peso de 0.5Kg se tiene que L es: despejando de la ecuación dada,

Finalmente se obtiene lo pedido al sustituir los valores en la ecuación para

4. La ley de expansión del aire es en donde c es una constante. Si se observa que el volumen es de y la presión es de ¿Cuál es la variación de la presión si el volumen disminuye /p<> De acuerdo a los datos, se tiene que el signo menos lo ponemos por que existe disminución.
Se nos pide encontrar <br. De la ecuación dada, se tiene que:
. De este resultado se tiene que: <br.
<p align='justify'> 5. Demostrar que si r representa el radio de la esfera y S su superficie y V su volumen, se obtiene la relación siguiente:

Conocemos que la superficie de la esfera esta dada por y su volumen por

Si consideramos que los dos parámetros son dependientes del tiempo. Derivando con respecto a este se tiene:

Arreglando un poco las relaciones obtenida, se obtiene lo pedido.

Se ha multiplicado y dividido por 2 para obtener la variación de la superficie con respecto al tiempo.

Finalmente se tiene
<br. 6. Resuelva el siguiente problema

Un foco de luz está situado a una altura de 10 metros sobre la calle. Una persona de 1.8 metros de altura se encuentra exactamente debajo del foco y se mueve en línea recta, a partir de esta posición inicial, a lo largo de la calle a una velocidad de 3 metros por segundo. Hallar la velocidad del extremo de la sombra sobre la calle al cabo de 3 segundos.

Sea v la velocidad de la persona y x la distancia que recorre en un tiempo t cualquiera, entonces tenemos que, x =vt, tomada desde el punto O.

El triángulo OPQ es semejante al triángulo ABQ. De Ahí podemos encontrar la siguiente relación:
entonces Sea u la velocidad de la sombra, entonces:

Modulo 4: Aplicaciones de la Derivada

Las relaciones cuantitativas dentro de la matemática deben ser muy generales y tratadas con un lenguaje lógico y simbólico para poder expresar todas las relaciones que existen entre los fenómenos de la naturaleza. Antes de recurrir al lenguaje matemático, el físico, el biólogo el economista han de comprender profundamente la esencia del fenómeno que analiza, y luego descomponerlo en sus partes fundamentales que pueden ser tratadas matemáticamente.

En este módulo, es necesario que el estudiante lea con absoluta reflexión los temas aquí anotados ya que estos son muy importantes. Páginas 164-168.

Este cuarto módulo lo empezamos analizando los valores extremos de una función.

Los valores máximos y mínimos pueden ser absolutos o relativos. La palabra relativo (local) se refiere a que estos máximos y mínimos lo son con relación a una región, un intervalo abierto muy pequeño que contiene a c (c es un número crítico). Fuera de ese intervalo abierto f puede tomar valores mayores o menores que el valor de f en intervalo que contiene a c.

Los máximos y mínimos relativos pueden no incluir entre ellos a los máximos y mínimos en la frontera del intervalo, por ejemplo en la figura inferior f(a) es un mínimo absoluto (global) pero no es mínimo local en [a, b] ya que no existe un intervalo abierto I contenido en [a, b] en el que f(a) es el menor valor de f en I. De la misma manera el punto f(b) no puede ser ninguno de estos valores extremos locales, ya que no existe un intervalo abierto que contenga a b.

<br. Analicemos lo dicho en los siguientes ejemplos:
1. Sea la función Determine los valores máximos y mínimos en los siguientes intervalos: [ 1, 2]; (1, 2];(1, 2); (- 2,- 1]; [- 1,2].

Máximo de f	Mínimo de f
[1,2]	F(1) = 1	F(2) = 1/4
(1,2]	No tiene	F(2) = 1/4
(1,2)	No tiene	No tiene
(-1,-2]	No tiene	F(-2) = 1/4
[-1,-2]	F(-1) = 1	F(2) = 1/4

2. Identifique los puntos críticos, e indique los valores máximos y mínimos de

De esta función encontramos la primera derivada, luego la igualamos a cero.

La ecuación que resulta en una de segundo grado, la cual al resolvérsela obtenemos los valores de:

(x + 2)(x - 1) = 0 , de donde se tiene que x = -2 y x = 1

Seguidamente evaluamos la función en los puntos encontrados y en los extremos del intervalo.

G(-2) = 4

G(1) = -1.4 mínimo

G(3) = 9 máximo

IMPORTANTE:

• La existencia de máximos y mínimos depende del tipo de intervalo y de la continuidad de la función.

Teorema de Rolle y teorema del valor medio

El teorema Rolle establece que en un intervalo cerrado [a, b], una función continua tiene un máximo y un mínimo. El mismo nos sirve de base para la demostración de un teorema muy importante que es el teorema del valor medio el cual nos da el valor medio del ritmo de cambio de una función en un intervalo cerrado [a, b].

Veamos el siguiente ejemplo:

El velocímetro de un automóvil señala 80km/h al pasar por una marca en una carretera. Cuatro minutos más tarde, cuando el automóvil pasa por otra marca de kilometraje que se encuentra a 8km de la primera, el velocímetro indica 90km/h. Use el teorema del Valor Medio para demostrar que el automóvil excedió una velocidad de 110km/h en algún momento cuando viajaba entre las dos marcas.

Si, suponemos que s(posición) es una función del tiempo, entonces aplicando el teorema del Valor Medio, resulta que existe un c en el intervalo [0, 1/15] en el que la velocidad s’(c) es 110km/h. Como notará, las velocidades en los puntos A y B no desempeñan ningún papel.

Revise muy detenidamente estos dos teoremas en las páginas 174 – 175

Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada

Algo fundamental que hay que tener en cuenta en este punto es sobre las funciones crecientes y decrecientes. Esto se lo hace siempre en relación a un intervalo. De ahí que no podemos hablar así simplemente que una función es creciente o decreciente. De la misma manera tomemos muy en cuenta el criterio de la primera derivada, la cual nos sirve para determinar si un punto de la curva es un máximo o un mínimo.

Revise estos tópicos en las páginas 179 – 185.

Analicemos algunos ejemplos:

Identifique los puntos críticos. Luego use el criterio de la primera para decidir cuales puntos definen máximos y mínimos de la función

Encontramos la primera derivada de la función e igualamos a cero:

Los valores obtenidos se los presenta en la siguiente tabla de resumen, tomando un número de prueba arbitrario k.

De acuerdo a la tabla anterior podemos concluir que el punto x = -1 define a un máximo como se puede observar en la gráfica.

Concavidad y el criterio de la segunda derivada

Ya se ha visto los intervalos en donde la función puede ser creciente o decreciente que nos sirve en mucho para describir una gráfica, pero si analizamos un poco más, veremos que el determinar f´(x) nos puede ayudar para determinar la concavidad de de una curva.

Cuando una función cambia de sentido, se define un punto característico denominado punto de inflexión.

Lea detenidamente las páginas de 190 a 193.

Limites al infinito

En el primer bimestre habíamos analizado los límites infinitos, es decir aquellos casos en donde la variable se acercaba a un número, mientras el valor se hacia cada vez más y más grande. Ahora estudiaremos casos en donde al hacer la variable cada vez más y más grande, la función se acerca a un valor dado.

Esto hace que se forman lo que se denomina asíntotas horizontales.

Para la resolución de estos problemas nos apoyamos fundamentalmente en los teoremas de 3.10.

Revise con detenimiento estos teoremas y sus ejemplos en las páginas 198 a 204.

Análisis de Graficas

Cuando la geometría y el algebra iban de manera independiente, sus avances no fueron tan veloces como cuando apareció el genio de Descartes para aunar estas dos en una sola introduciendo el plano que ahora lleva su nombre “El Plano Cartesiano” Así una función puede ser graficada en el plano cartesiano y la misma define algunos punto característicos que gracias a la potencia del Cálculo los podemos definir. Hasta el momento se han estudiado algunos conceptos que son útiles al momento de dibujar una gráfica. Estos son: puntos de intersección con los ejes x e y, Dominio y Rango, Continuidad, máximos, mínimos, asíntotas, Concavidad. En las páginas 209 - 213 se dan algunos ejemplos y una estrategia para realizar la gráfica de una función. Acéptelos, son un buen consejo.

Problemas de Optimización

Los objetos de las matemáticas son los modelos lógicos construidos con el fin de describir los fenómenos de la naturaleza. Si un modelo describe correctamente lo esencial del fenómeno, las matemáticas muestran los lazos lógicos interiores que parecían ocultos al comienzo de la investigación, es decir permite descubrir nuevas facetas del fenómeno analizado. Un modelo por ser abstracto puede describir a más de un proceso. Por ejemplo, en la mecánica el modelo matemático de las oscilaciones de un resorte, es exactamente el mismo del modelo de las oscilaciones eléctricas. Hasta la presente fecha, Ud. ya conoce un potente método para emprender en el análisis de muchos fenómenos. Todo el tiempo nosotros hemos hablado de función, con las variables x, y, z, w, v, u etc; pero desde este momento, la función ya llevará nombre; puede ser área, volumen, crecimiento de bacterias en la unidad de tiempo, caudal de agua, estatura en la unidad de tiempo, costo de construcción, etc, etc. Lo invito entonces a emplear el Cálculo para investigar las relaciones que se pueden dar entre las variables de los fenómenos de nuestra naturaleza.

En la página 219 se dan consejos para resolver problemas de máximos y mínimos.

Analicemos algunos ejemplos:

1. Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de 12 cm. de altura 4cm de radio de la base, de manera que los ejes del cilindro y los ejes coincidan.

Del triángulo formado al seccionar el cono, encontramos semejanza de sus lados obteniendo la siguiente relación.

El volumen del cilindro esta dado por , al sustituir el valor de h, se tiene:

Encontramos su derivada.

Dr (V) = 3πr(8 - 3r)

Luego hacemos que Dr (V) = 0, de donde se tiene que r = 0 y r = 8/3. Aplicando el criterio de la segunda derivada para r = 8/3 se tiene que:

Del resultado anterior nos indica que el punto máximo se alcanza cuando r = 8/3cm.

El valor de r = 0, se lo desprecia, ya que hace que se anule todo.

Las medidas del cilindro que nos darán el volumen máximo son:

h = 3(4 - 8 / 3) = 4cm

h = 4cm

r = 8/3cm.

2. Hallar las dimensiones del cono recto circular de volumen mínimo que se puede circunscribir a una esfera de 8cm de diámetro.

Sea x el radio de la base del cono y sea h = 8 + x la altura del cono.

Recuerde que la esfera es tangente a la base del cono así como tangente a la superficie lateral del cono.

Cortando el cono exactamente por la mitad mediante un plano, se tiene que nos da algunos triángulos semejantes.

De los triángulos rectángulos semejantes ABC y AED, se deduce que:

La expresión del volumen del cono quedará de la siguiente manera:
Al encontrar la derivada e igualarla a cero, se tiene que:

En donde se tiene que y = 24, los otros valores: y = 8, y = -8, no son valores críticos ya que el primero constituye el radio de la esfera, y el otro por ser negativo.

La altura del cono será h = 8+24 = 32cm.
El radio de la base
3. Si tres lados de un trapecio mide cada uno 10cm. ¿Cuánto debe medir el cuarto lado para que el área sea máxima?

El área del trapecio se define como: en donde h es la altura, a y b son las longitudes de las bases respectivamente. Es decir:

A = h(10 + x) , la altura se define como según el teorema de Pitágoras, de donde se tiene que

Si el área del trapecio es máxima, también lo es su cuadrado, por eso vamos a maximizar el cuadrado del área, para lo cual empezamos derivando la expresión anterior.