De Computacion

Breve Historia del Cálculo

La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras, y precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del calculo, o de las matemáticas; convirtiéndose de esta forma en una de las disciplinas más antiguas y útiles. La civilización Egipcia se convierte, desde el inicio, en una importante protagonista del desarrollo de las matemáticas, conjuntamente con la Babilónica.y Antigua Mesopotamia. Posteriormente, fue Grecia donde se hizo popular la creación de las escuelas de los grandes pensadores cuyos estudios se enmarcaban en las áreas de la Geometría, el Álgebra y la Trigonometría; por tal razón es considerada la cuna de esta ciencia. Se puede atribuir que el origen del cálculo integral se remonta ya a la época de Arquímedes (287-212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, quien obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral. Después de esta larga trayectoria, atravesando por el renacimiento, época también importante en la historia de las matemáticas; luego en el siglo XVIII es finalmente la etapa donde se introducen los conceptos del Cálculo y sus ramificaciones, con el gran desarrollo del Análisis Matemático al crear las ramas del Cálculo Diferencial e Integral. El cálculo Diferencial fue impulsado por Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros, con un apartado fundamental como fue el estudio de las funciones mediante series de potencias propuesto por Newton, especialmente a partir del teorema de Taylor. El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal, creado por Barrow, Newton y Leibniz, es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas.1 Johann Bernoulli escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742, sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias. La acumulación de las investigaciones de aquel entonces dio lugar a la creación de la estructura del cálculo, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual.

Importancia del Cálculo

Si se tratara de enumerar las utilidades del cálculo en las diversas ciencias o áreas del conocimiento, el tiempo que demandaría sería demasiado, y además ese no es el propósito fundamental de la presente materia. Sin embargo, mencionaré algunas aplicaciones básicamente en el área de la Ingeniería. Por ejemplo, en Ingeniería de Instrumentación y Control, con frecuencia se presenta el problema de nivel de tanque o recipiente, y para solucionar el problema de control de nivel se lo puede hacer mediante el uso de la integral. Un modelo matemático puede ayudar a la producción de gas natural, Ingeniería en Hidrocarburos. Modelos de propagación de enfermedades contagiosas, Medicina. En la Informática, en proyectos que involucran modelos matemáticos complejos representados con ecuaciones integrales, cuya solución demanda una gran cantidad de cálculos con alta precisión, es necesaria la utilización de algoritmos que conduzcan hacia una buena estimación del resultado final. Y en grandes ámbitos como la tecnología espacial, la nanotecnología, entre otros. No podemos hablar de una formación científica real en una persona del área de las ciencias técnicas o experimentales, si no está capacitado para identificar, representar y resolver problemas con la ayuda de modelos matemáticos que conllevan la utilización de las herramientas del cálculo; pues esto precisamente le confiere el carácter científico al proceso. Por todo lo mencionado, es importante el estudio del Cálculo en la formación de los profesionales en Ingeniería Informática.

Descripción de los contenidos

Esta materia es continuación de Cálculo I, por ello es necesario conocimientos previos como teoría de funciones, límites y la derivada; a parte se da por supuesto el conocimiento de algebra básica. Empezamos el primer capítulo con una revisión detallada de la operación Integral, que es la opuesta a la derivación, en esta unidad establecemos comparaciones del cálculo de áreas mediante sumas y mediante integrales, determinando así los orígenes de la integración. En el segundo capítulo abordamos un tema de vital importancia dentro del cálculo (aunque muchas veces se lo estudia por separado) como son las Ecuaciones Diferenciales; precisamente con la ayuda de las ecuaciones diferenciales es posible el planteamiento de muchos modelos que representan determinados problemas o fenómenos reales como dinámica poblacional, enfriamiento térmico, trayectorias ortogonales, problemas de mezclas en Ingeniería Química, entre otros. El tercer capítulo se caracteriza por el estudio de aplicaciones concretas de la Integración, entre estas podemos mencionar el cálculo de áreas, volúmenes, superficies de revolución, longitud de curvas, entre otras; así como también la utilización de algunos métodos de integración aproximada que son útiles cuando la función es demasiado compleja y los métodos tradicionales se tornan ineficientes. El segundo bimestre lo dedicamos al estudio de dos temas importantes como son las Técnicas de Integración, en el capítulo cuarto, y las Series Infinitas en el capítulo quinto. Dentro de las técnicas de integración haremos revisión de importantes métodos para integrar funciones complejas, como son: la utilización de fracciones parciales, transformaciones trigonométricas e integración por partes. Lo importante es identificar cuándo se debe aplicar determinada técnica. Para abordar adecuadamente la temática descrita, se ha seleccionado un texto actualizado que emplea un lenguaje sencillo y en el cual consta un alto porcentaje de los contenidos previstos; sin embargo es fundamental la revisión de la bibliografía complementaria a fin de ampliar y reforzar los conocimientos. Al respecto de la bibliografía hablaremos en forma más detallada luego de los Objetivos Generales que se han planteado para este curso.

Tabla de contenidos 1 Objetivos Generales 2 Objetivos Especificos 3 Bibliografía 4 Desarrollo del Aprendizaje 4.1 Capitulo 1: INTEGRACIÓN 4.1.1 Conceptos Claves: 4.1.2 Esquema de Estudio: 4.2 Capitulo 2 : ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 4.2.1 Conceptos Claves: 4.2.2 Esquema de Estudio: 4.3 Capitulo 3: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 4.3.1 Conceptos Claves: 4.3.2 Esquema de Estudio: 4.4 Capitulo 4: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN E INTEGRALES IMPROPIAS 4.4.1 Conceptos Claves: 4.4.2 Esquema de Estudio: 4.5 Capitulo 5:SERIES INFINITAS 4.5.1 Conceptos Claves: 4.5.2 Esquema de Estudio:

[editar] Objetivos Generales

• Identificar, analizar y aplicar los conceptos básicos del cálculo integral y de las ecuaciones diferenciales como instrumento para la modelación y solución de problemas reales.

[editar] Objetivos Especificos

• Conocer los fundamentos de la integral y aplicarlos a resolver problemas geométricos como el área bajo una curva y área entre curvas.
• Revisar y utilizar adecuadamente el método de sustitución o cambio de variable, para resolver integrales de funciones compuestas.
• Distinguir y aplicar los métodos de integración aproximada en el cálculo de integrales complejas; y evaluar el error de aproximación.
• Conocer algunos modelos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Caracterizar y clasificar las ecuaciones diferenciales ordinarias según su estructura, y forma de solución.
• Conocer y aplicar la metodología de integración, en el cálculo de volúmenes de revolución, longitudes de arco y áreas de superficie.
• Analizar y reconocer algunas aplicaciones importantes de las integrales relacionadas con la Física.
• Conocer las principales técnicas de integración y aplicarlas en la resolución de ejercicios concretos.
• Conocer y resolver integrales con límites infinitos de integración.
• Caracterizar una sucesión y conocer la forma de analizar su monotonía.
• Describir una serie real, y conocer algunos criterios para determinar la convergencia o divergencia.
• Distinguir las clases más importantes de series, en función de su aplicabilidad.
• Expresar funciones reales diferenciables, en términos de una serie de Taylor.
• Hacer una clara distinción entre serie de Taylor y Maclaurin.

[editar] Bibliografía

Texto Básico:

• LARSON R., HOSTETLER R., EDWARDS B., Cálculo I, 8va edición, Editorial McGraw-Hill Interamericana, México © 2006

Este texto pone mucho énfasis en la solución de problemas variados, desarrollo de conceptos y ejercicios propuestos que sirven para desarrollar un pensamiento crítico. Múltiples aplicaciones del cálculo en diversas áreas del conocimiento; además actividades abiertas e investigaciones. Complementariamente, a diferencia de otros textos de cálculo, presenta un capítulo exclusivo sobre Ecuaciones Diferenciales con las técnicas básicas de resolución y aplicaciones en algunos campos de la Ingeniería.

Bibliografía complementaria:

• DENNIS ZILL, MICHAEL CULLEN, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones al Modelado, V Edición, Editorial Thomson Learning, México 2002.

Los contenidos de este texto están orientados solamente a las Ecuaciones Diferenciales, tipos de ecuaciones diferenciales y los métodos de solución tanto analíticos como numéricos, con abundantes aplicaciones. Es recomendable leer este texto para quienes quieren, además de conocer los fundamentos básicos de las ecuaciones diferenciales, quieran iniciarse en modelos aplicados a varios campos de la Ingeniería.

• LEITHOLD LOUIS, El Cálculo, VII Edición, Editorial Oxford, México 1998.

Texto de amplia trayectoria en el estudio del Cálculo, podríamos decir que es un clásico en esta área; por la gran cantidad de contenidos referentes a integración y aplicaciones en varias áreas de la Ingeniería, sería muy conveniente revisarlo para profundizar algunos temas de la materia. Además cuenta con gran cantidad de ejercicios prácticos.

• SMITH R., MINTON R., Cálculo, volumen I, Edit. MacGrawHill 2000

Se trata de un texto muy similar al texto básico, por ello es de fácil compresión, emplea un lenguaje sencillo y apto para un estudiante de Cálculo. También presenta una variedad de ejercicios resueltos, y es muy minucioso en la explicación de los mismos.

• STEWART JAMES, Cálculo en una variable y Cálculo Multivariable, IV edición, Editorial Thomson-Learning, México 2001.

La fortaleza de estos textos es la ilustración gráfica en cada tema de estudio, y el rigor analítico que presenta tanto en demostraciones como en el desarrollo de ejemplos. Usa un lenguaje sencillo y de fácil comprensión.

[editar] Desarrollo del Aprendizaje

[editar] Capitulo 1: INTEGRACIÓN

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[editar] Conceptos Claves:

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• Función

Una función definida de A en B, es aquella correspondencia donde para todo elemento (x) de A, existe un único elemento (y) en B, tal que f(x) = y.

En nuestro caso, tanto A como B son dos conjuntos definidos en los reales; es decir, pueden ser un subconjunto de los reales o todo el conjunto de los reales inclusive.

• Primitiva o Antiderivada

Dada una función real f, se dice que F es primitiva de f si y sólo sí F’(x)=f(x).

Nótese que la derivada de una primitiva da como resultado la función original f. Esto implica que para determinar la primitiva de una función f, basta con integrar dicha función. Así:

Además, si una función G(x) tiene la forma: G(x)= F(x) + C, donde C representa cualquier constante real; esta función G también será primitiva de f(x). De esto se deduce que pueden existir infinitas primitivas para una función f(x). Por ello, la ecuación anterior se escribe como:

Resolviendo una ecuación diferencial de la forma: , podemos llegar a la igualdad: dy = f(x)dx, de donde para obtener el valor de y, aplicamos integrales en ambos lados de la igualdad y tenemos:

A esta ecuación se la conoce como solución general de la ecuación diferencial. Si C es un valor conocido entonces se dice que la solución es particular. En el siguiente capítulo revisaremos a detalle la metodología de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

• Notación Sigma

Es la sumatoria de n términos, generalmente denotados por: a1, a2, …, an. Se simboliza por . La sumatoria tiene un papel importante en este capítulo, puesto que, como veremos mas adelante, un área irregular puede expresarse como la suma de áreas regulares llamadas rectángulos.

• Integral Definida

Simbólicamente se define como:

Para entender esta fórmula partamos del origen de la integral. La primera aplicación de las integrales es el cálculo de áreas planas irregulares, para ello es necesario dividir el área que se busca en múltiples rectángulos generalmente de igual base; de esta forma, si se suman las áreas de todos los rectángulos se obtendrá una estimación del área total deseada. Descomponiendo la fórmula tenemos:

Δ: representa la base de cada rectángulo. Amplitud entre y

: significa que la base tiende a cero. Esto se consigue aumentando el número de rectángulos.

altura del rectángulo en la posición i. Donde ci ∈ .

: área del rectángulo en la posición i.

Podemos notar que para construir la definición de integral, partimos del concepto básico del área de un rectángulo.

• Continuidad:

Una función es continua en cualquier intervalo [a, b] de los reales, si para cualquier valor c comprendido en dicho intervalo, f(c) existe y además.En palabras simples, una función es continua en un intervalo si no presenta cortes o saltos en la gráfica.

Teorema Fundamental del Cálculo

Es la fórmula para determinar el valor de una integral definida, está dado por:

• Funciones Par e Impar

Una función real f, es par si cumple: f(x) = f(-x) para cualquier x del dominio de f. Gráficamente se la reconoce porque presenta simetría respecto al eje de la ordenadas (Y).

De igual forma, una función real f es impar si cumple: f(-x) = -f(x) para cualquier x del dominio de f. La gráfica de una función impar presenta simetría respecto al origen (0,0).

• Integración Numérica

Trata de los métodos de integración basados en fórmulas y cuyo resultado es una aproximación del valor real. Estos métodos se emplean cuando la función que se busca integrar es demasiado compleja y no son aplicables los métodos tradicionales.

• Funciones Trascendentes

Son aquellas que no pueden expresarse como la solución de una ecuación polinómica; pertenecen a este grupo las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas e hiperbólicas.

[editar] Esquema de Estudio:

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A continuación se detallan los temas que se deben desarrollar en este primer capítulo, una breve explicación del mismo, y un conjunto de actividades que se recomienda sean desarrolladas para una mejor comprensión del tema. Se han dispuesto la primera y última fila para llevar un control personal del tiempo de dedicación a cada tema, marcar las actividades que cada estudiante estima que requieren tutoría y realizar anotaciones personales.

Tema a revisar	Descripción del Contenido a revisar	Actividades Recomendadas	Planificación Personal del estudio (fecha)	¿Requiero Tutorial?	Anotaciones
Generalidades, Noción de Integral. Págs. 248-258	Se inicia explicando el concepto de antiderivada y representación gráfica, así como las reglas básicas de integración. También se hace referencia, de forma muy general, a soluciones de una ecuación diferencial.	Antes de proceder con la integración es necesario adecuar la función de forma que permita la aplicación de alguna regla; por ello es necesario que realice la práctica de completación, en los ejercicios 9 a 14 de la Sección 4.1, y de los ejercicios 47 al 52 puede escoger un par de estos para resolver las ecuaciones diferenciales sencillas que se indican.
1.2. Áreas mediante sumas. Págs. 259-267	Comienza explicando la notación sigma y haciendo una revisión de algunos polígonos regulares. Luego explica la forma de “ajustar” una superficie irregular mediante superficies regulares llamadas rectángulos. Posteriormente se hace una distinción entre suma superior y suma inferior.	En los ejercicios de la sección 4.2 numerales 27 a 30 se propone el cálculo de algunas áreas, resuelva por lo menos dos de ellos pero en lugar de emplear sumas inferiores y superiores, utilice rectángulos cuya altura coincida con el punto medio de la base de cada rectángulo y compare los resultados
1.3. Integral definida. Págs. 271-290	En esta unidad se inicia explicando un concepto importante dentro de integración como es “sumas de Riemann”, para luego en base a esta explicar el Teorema Fundamental del Cálculo, el mismo que sirve para hallar el valor de una integral limitada. Posteriormente se enuncian otros teoremas importantes como el teorema del valor medio y el valor medio de una función. Puede darse cuenta que en adelante, todas las aplicaciones giran en torno a una metodología que emplea el Teorema Fundamental del Cálculo.	En los ejercicios de la sección 4.2 numerales 27 a 30 se propone el cálculo de algunas áreas, resuelva por lo menos dos de ellos pero en lugar de emplear sumas inferiores y superiores, utilice rectángulos cuya altura coincida con el punto medio de la base de cada rectángulo y compare los resultados En los ejercicios de la sección 4.4 se proponen algunos dedicados a desarrollo de conceptos (53-60), se le recomienda resolver estos ejercicios como aplicación del Teorema fundamental del cálculo. En el caso del ejercicio 54, la figura irregular debe descomponerse y hallar la ecuación que represente la función para cada segmento, puede ser mediante el cálculo de la ecuación de la recta conociendo dos puntos, y luego el área total se descompone en la suma de cuatro integrales.
1.4. Integración por sustitución Págs. 295-303	Esta unidad hace énfasis en el reconocimiento de modelos, dado que la integración por sustitución se emplea siempre que se tenga una función compuesta de la forma: f(g(x))g’(x), donde la función g(x) es reemplazada por la variable u, de ahí el nombre de u-sustitución. También se hace una revisión de integrales con funciones pares e impares.	Complete los seis primeros ejercicios de la sección 4.5, esta actividad le facilita destreza para reconocer un cambio de variable. En los ejercicios 101-104 se propone el cálculo de integrales con la ayuda de propiedades de funciones pares e impares; resuelva dos de estos. Nótese que la función seno es impar y la función coseno es par, el producto de las dos es impar.
1.5. Integración Numérica. Págs. 309-313	En esta sección se estudian dos métodos de integración aproximada como son las Reglas de Trapecio y de Simpson. Las dos reglas se emplean fundamentalmente cuando la función que se quiere integrar es compleja y no admite aplicación de otra técnica; por ello estos métodos son de aproximación ya que el resultado depende del número de subintervalos en los que se divide el área que se busca. Estos métodos son programables.	De los ejercicios propuestos en la sección 4.6, resuelva los numerales 46 y 49, por ambos métodos y compare el resultado. Si es posible elabore un programa sencillo que le permita aplicar estas reglas, luego en el EVA les daré algunas explicaciones para definir la precisión de los métodos, adicionales a las formulas de error que se propone en el texto.
1.6. Integración de funciones trascendentes. Págs. 332-337, 354-355, 380-384, 388-395.	En este capítulo del texto básico usted encontrará una revisión muy detallada de las principales funciones trascendentes como son las logarítmicas, exponenciales, trigonométricas e hiperbólicas. Las unidades que nos interesan en este curso son las referentes a integración; si le hace falta revisar otros conceptos y propiedades de estas funciones puede hacerlo. Es importante que tenga presente las propiedades de los logaritmos, el concepto de función inversa, cambio de base, funciones e identidades trigonométricas. La clave de esta unidad es aplicar el método de sustitución combinado con la integración de esta clase de funciones.	Proponga ejemplos de funciones logarítmicas y luego escríbalas en forma exponencial, esto le ayudará a comprender la noción de función inversa. Adjunte a su formulario, las fórmulas de integrales de funciones trascendentes. Resuelva un par de ejercicios de la sección 5.2, que le permita aplicar la REGLA Log que se explica en la pág. 332.

[editar] Capitulo 2 : ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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[editar] Conceptos Claves:

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• Ecuación diferencial

Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más variables dependientes en función de una o más variables independientes.

• Ecuación diferencial Ordinaria (EDO)

Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más variables dependientes respecto de una sola variable independiente. Las derivadas pueden ser de primer orden o de orden superior, de ello dependerá el orden de la ecuación diferencial.

Según el texto de Zill D. la notación estándar de una EDO de primer orden es: F(x, y, y’) = 0,donde “x” representa la variable independiente, “y” representa la dependiente, y’ la derivada de primer orden . De esto podemos concluir que la primera derivada está en función de x e y. Así: y’ = f(x,y).

Resolver una ecuación diferencial implica determinar la función y(x) conociendo su derivada

• Solución General

Representa la familia monoparamétrica (porque interviene un parámetro real C) de curvas solución de la ecuación diferencial en el dominio de definición. Tiene la forma f(x,y,C) donde C es una constante real.

Ejemplo (Modelo de crecimiento poblacional)

Este modelo parte del supuesto que “El ritmo de cambio de una población P en el tiempo t, es directamente proporcional (K) al tamaño de la población”. Simbólicamente:

Aplicando integración en ambos lados de la ecuación y propiedades de los exponentes, se obtiene la función P(t) solución de la ED.

Luego, para t=0: P(0) = C =(población inicial). Por consiguiente:

Donde P0 denota la población inicial (al tiempo t = 0). Podemos observar que esta función es de tipo exponencial, cuya gráfica es creciente para k>0 y decreciente para k<0.

Este modelo es muy simple puesto que toma en cuenta solamente la tasa de reproducción (natalidad) y no involucra otros factores como tasa de mortalidad, interacciones, etc. Por ello es confiable en períodos cortos de tiempo.

• Solución Particular

Aquella que se deriva de la solución general para un valor específico de C. Este valor de C puede determinarse sólo si se dispone de una condición inicial.

• Solución Singular

Es la solución que no proviene de la solución general, sin embargo satisface la ecuación diferencial.

• Problema de valor inicial (PVI)

Un PVI está conformado por una ecuación diferencial y una condición inicial:

y’ = f(x, y)

Resolver este PVI significa hallar aquella función y(x) que pase por el punto .

El número de condiciones iniciales esta de acuerdo al orden de la ecuación diferencial; si la ecuación es de segundo orden, la solución general será una familia bi-paramétrica de curvas solución, compuesta por dos parámetros (C1 y C2), por ello, para determinar sus valores se requieren dos condiciones inciales.

Una característica fundamental en el problema de valor inicial es que todas las condiciones iniciales pasan por el mismo valor de la abscisa .

• Función Homogénea

Una función f(x, y) se dice homogénea de grado n, si cumple:

Ejemplo

,es homogénea de grado 3. Solo nos fijamos en que el grado de cada término de la ecuación sea el mismo. El grado se determina sumando los exponentes de cada variable, en cada término.

• Ecuación diferencial ordinaria homogénea

Una ecuación diferencial ordinaria homogénea de primer orden tiene la forma:

Donde M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas de igual grado.

• Ecuación diferencial ordinaria lineal

Una EDO es lineal si cumple simultáneamente las condiciones:

-  El grado de la variable dependiente (y) y sus derivadas es 1. Es decir la variable dependiente debe estar conformada por funciones lineales.

Por ejemplo, si en la EDO está el término seny, la EDO no es lineal.

-  Los coeficientes de las derivadas deben ser funciones solamente de la variable independiente (x).

• Método de Euler

Es un método numérico que sirve para aproximar la solución particular de una ecuación diferencial en un intervalo dado. Por ser método numérico, se basa en una fórmula de recurrencia cuya exactitud en la solución dependerá del número de particiones que se realicen en el intervalo solución.

[editar] Esquema de Estudio:

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A continuación se detallan los temas a desarrollarse en este segundo capítulo con una ligera explicación en cada caso, y un conjunto de actividades que se recomienda sean desarrolladas para una mejor comprensión del tema. El primero y último renglón se han destinado para llevar un control personal del tiempo de dedicación a cada tema, marcar las actividades que cada estudiante estima que requieren tutoría y realizar anotaciones personales.

Tema a revisar	Descripción del Contenido a revisar	Actividades Recomendadas	Planificación Personal del estudio (fecha)	¿Requiero Tutorial?	Anotaciones
2.1. Soluciones de una EDO y Método de Euler Págs. 404-408	En esta unidad se describe los tipos de solución que puede tener una EDO, las explicaciones vienen acompañadas de ilustraciones gráficas. También se desarrolla ejemplos con la utilización del método de Euler para aproximar una solución de un problema de valor inicial. Es conveniente que adicione a su formulario, las ecuaciones que emplea el método de Euler para calcular los valores de . Sería interesante que compare las soluciones analíticas con las numéricas.	En lista de ejercicios de la sección 6.1 usted dispone de una variedad de casos que le servirán para diferenciar soluciones generales de particulares, resuelva por lo menos dos de cada caso. Además resuelva el problema 79 de la pág. 411, aplicando solución analítica y numérica por el método de Euler.
2.2. Modelos con EDO. Págs. 413-417	En este apartado se presenta algunos ejemplos de problemas que son modelados usando EDO, entre estos tenemos: Modelo de Crecimiento o Decrecimiento Poblacional y Ley de Enfriamiento de Newton.	Investigue otras aplicaciones adicionales que tienen las Ecuaciones diferenciales ordinarias, en diferentes áreas de la Ingeniería. Por ejemplo, problemas de circuitos eléctricos, problemas de mezclas, trayectorias ortogonales, entre otros. Para esta actividad puede hacer uso de la bibliografía para Ecuaciones Diferenciales.
2.3. Métodos para resolver EDO. Págs. 421-438	En las secciones 6.3 y 6.4 del texto básico se explica la forma que adoptan determinadas EDOs con el respectivo método de solución. El método más común es mediante separación de variables; además es importante hacer una clara distinción entre ecuaciones lineales, homogéneas y de Bernoulli. La Ecuación de Bernoulli es un claro ejemplo de EDO de primer orden no lineal.	Haga un esquema señalando los diferentes tipos de EDOs, la forma que adopta la ecuación y la estrategia de solución que se debe emplear en cada caso. Adicione un ejemplo en cada caso.

[editar] Capitulo 3: APLICACIONES DE LA INTEGRAL

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[editar] Conceptos Claves:

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• Puntos de intersección de dos curvas

Son los puntos (x) que indican la dirección (perpendicular al eje Y) de corte de las gráficas de dos funciones. Es necesario conocer estos puntos para determinar el área comprendida entre las curvas; cuando las curvas se intersecan en más de dos puntos es preferible dividir el área que se busca en la suma de dos o más áreas según indique la gráfica.

Los puntos de intersección sirven para definir los límites de integración, y se determinan igualando las ecuaciones cuyas gráficas se intersecan. Por ejemplo, para determinar los puntos de intersección de las gráficas de , se igualan las dos ecuaciones como se observa en la pág. 449 del texto básico. El área que se busca está dividida en dos regiones, en la primera f>g y en la segunda g > f.

Nota:

Para plantear correctamente la integral que determina el área entre las curvas, se debe identificar correctamente cual de las dos funciones en mayor. Analice con detenimiento los ejercicios desarrollados en la sección 7.1.

• Volumen de revolución

Es el volumen del sólido generado al hacer girar una región del plano, alrededor de uno de los ejes o una recta paralela a uno de ellos. El eje alrededor del cual gira la región se llama eje de revolución.

Los métodos, para determinar el volumen, que estudiaremos en este curso se denominan Método de los Discos y Método de las arandelas. El primero se basa en dividir al sólido en múltiples discos (cilindros cuya altura tiende a cero) y el volumen total será la suma de los volúmenes de los discos; el segundo es similar al primero, con la diferencia que se trata de discos huecos en forma de arandelas. Una explicación detallada de estos métodos se encuentra en la sección 7.2.

Nota: Cuando la región se hace girar alrededor del eje X o una recta paralela al mismo, la variable de integración es ; mientras que, si la región gira alrededor del eje Y o una paralela a este, la variable de integración será

La integración respecto de Y se emplea cuando las gráficas no representan funciones de x, y para hallar los límites de integración se debe hacer la igualación de las ecuaciones en términos de y. En este caso, a la función que está a la derecha se le resta la que está a la izquierda.

• Longitud de arco

Define la distancia a lo largo de la trayectoria de la gráfica de una función entre dos puntos dados. Si los puntos pertenecen al eje X, se denotan por [a,b]; si pertenecen al eje Y, se denotan por [c,d]. Estos puntos representan los límites de la integral.

• Superficie de Revolución

Es aquella que se genera al hacer girar una función continua alrededor de una recta. Representa la superficie externa de un sólido de revolución.

Aplicaciones de la integral en el campo de la Física

• Trabajo

La acción ejecutada por una fuerza para desplazar un objeto de un lugar a otro, se denomina trabajo. El trabajo realizado por una fuerza variable es igual a la integral de dicha fuerza.

• Presión

Es la fuerza ejercida por unidad de área en la superficie de un cuerpo. De esto se deduce que la fuerza de un fluido es igual al producto de la presión por el área. En otros términos, la fuerza de un fluido es igual a la integral del producto de la profundidad del fluido por el área de la región (por ejm: un rectángulo) que se encuentra a tal profundidad. Una explicación detallada al respecto se encuentra en la sección 7.7 del texto básico, pág. 507.

[editar] Esquema de Estudio:

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A continuación se detallan los temas que se deben desarrollar en este tercer capítulo, con una breve explicación del mismo, y algunas actividades que se recomienda sean desarrolladas para una mejor comprensión del tema. Es necesario que usted estimado(a) alumno(a) haga uso de los renglones dentro del cuadro, para que lleve un control personal del tiempo de dedicación a cada tema, marque las actividades en las cuales estima que requiere tutoría y realice anotaciones personales de algunas notas clave que le ayude a recordar el tema.

Tema a revisar	Descripción del Contenido a revisar	Actividades Recomendadas	Planificación Personal del estudio (fecha)	¿Requiero Tutorial?	Anotaciones
3.1. Área de una región entre dos curvas. Págs. 446-451	Es esta unidad se explica la metodología que permite determinar el área comprendida entre las gráficas de dos funciones, con gráficas ilustrativas del proceso. Es conveniente primero hacer un bosquejo de las funciones involucradas, para visualizar la región cuya área se busca, observar el intervalo de integración y determinar sus límites, saber cuál función es mayor, y por último plantear la integral y resolverla usando la técnica mas adecuada.	De los ejercicios de la sección 4.4, pág. 452; escoja por lo menos cuatro de ellos, dos de la primera parte y dos de la segunda. Esta actividad le permitirá desarrollar la capacidad de plantear integrales que representen un área gráfica determinada y lo contrario, partiendo de la integral dibujar el área correspondiente.
3.2. Volumen, longitud de arco y superficie de revolución. Págs. 456-462, 476-482. Algunas aplicaciones a la Física 487-510	En esta sección se desarrollan tres métodos para determinar el volumen de un sólido de revolución, dos de los cuales abordaremos en este curso, el método de los discos y el método de las arandelas. La clave es haber entendido la sección anterior, puesto que para generar el sólido se hace girar una región alrededor de una recta llamada eje de revolución, es así que los límites de la región serán los límites de la integral. En el método de las arandelas, se debe tomar en cuenta dos radios (radio mayor y menor), cuando el eje de revolución es una recta paralela o bien al eje X o bien aleje Y, y la región está comprendida entre dos funciones, el radio mayor será la distancia entre la función mas alejada y la recta eje. Vea ejemplo 3 de la pág. 459 del texto básico.	Realice dos ejercicios prácticos de hallar el volumen por el método de las arandelas, considerando como ejes de revolución dos rectas paralelas al eje X (Ejm. y= 4, y = -6). Para cada caso puede emplear la misma región.
3.2. Volumen, longitud de arco y superficie de revolución. Págs. 456-462, 476-482. Algunas aplicaciones a la Física 487-510	Mas adelante, también se explica la forma de calcular una longitud de una curva y la superficie de revolución de un sólido. En este tema es necesario que lea el proceso de obtener la fórmula para cada caso. Adicionalmente, se presentan aplicaciones a la Física como Trabajo en función de fuerza y presión de un fluido.	Lea las tres leyes físicas que se explican en la pág. 489 y su relación con el cálculo integral.

[editar] Capitulo 4: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN E INTEGRALES IMPROPIAS

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[editar] Conceptos Claves:

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• Integración por partes

Es una técnica que se emplea cuando las funciones que se desea integrar son de la forma:

Producto polinomial-trascendente, por ejemplo: , etc.

Producto exponencial-trigonométrica, por ejemplo: ,cosx, etc.

Esta regla se basa en una fórmula dada, la misma que proviene de la derivada de un producto de funciones. Simbólicamente:

Esta fórmula indica que el integrando debe tener la forma udv; la clave está en seleccionar adecuadamente u y dv, una mala elección conduce a complicar la función en lugar de simplificarla. Por ejemplo, si se quiere integrar , es apropiado escoger, ; de lo contrario el grado de x aumentará. Vea ejemplos en la pág. 526 del texto.

• Identidad trigonométrica

Es una igualdad conformada por términos que son funciones trigonométricas, por ejemplo entre las más utilizadas tenemos: .

Las identidades trigonométricas se emplean para resolver integrales que contienen radicales; el objetivo es eliminar el radical del integrando, haciendo uso de las identidades Pitagóricas.

Mayor explicación y ejercicios al respecto, usted encuentra en la sección 8.4, pág. 543 del texto básico.

• Fracciones parciales

La estrategia de las fracciones parciales consiste en descomponer una función fraccionaria compleja en la suma de fracciones más simples. La clave es expresar el denominador de la fracción compleja como un producto de factores (monomios, binomios o trinomios). La explicación de este tema se encuentra en la sección 8.5

• Integral Impropia

Aquella que no cumple con las condiciones del teorema fundamental del cálculo, puesto que la función que se busca integrar no necesariamente es continua (posee un número finito de discontinuidades en el intervalo de integración) o cualquiera de los dos límites de integración son infinitos.

Nota:

cuando ambos límites de integración son infinitos (-∞, +∞), es conveniente dividir el intervalo de integración en dos partes: (-∞, c) y (c, +∞). Revise las definiciones al respecto en la sección 8.8.

[editar] Esquema de Estudio:

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A continuación se detallan los temas que se deben desarrollar en este primer capítulo, con una breve explicación del mismo, y algunas actividades que se recomienda sean desarrolladas para una mejor comprensión del tema. Es necesario que usted estimado(a) alumno(a) haga uso de las filas en blanco dentro del cuadro, para que lleve un control personal del tiempo de dedicación a cada tema, marque las actividades en las cuales estima que requiere tutoría y realice anotaciones personales de algunas notas clave que le ayude a recordar el tema.

Tema a revisar	Descripción del Contenido a revisar	Actividades Recomendadas	Planificación Personal del estudio (fecha)	¿Requiero Tutorial?	Anotaciones
1.1. Integración por partes. Págs. 525-530	En esta unidad se explica la técnica de identificar las dos partes (u, dv) de la función que se busca integrar y encontrar du y v, respectivamente. Hay ocasiones en las que no basta integrar una sola vez, entonces es necesario hacer dos integraciones por partes sucesivas; esto generalmente ocurre cuando no se logra simplificar el integrando, de cualquier forma que se tomen las funciones, por ejemplo cuando se tiene: ex senx. En estos casos la forma de escoger u y dv es irrelevante.	De la sección 8.2 del texto básico, conteste las cuestiones que se refieren a desarrollo de conceptos, página 532. Además resuelva el ejercicio 35, utilizando doble integración por partes.
1.2. Integrales Trigonométricas. Págs. 543-539. Sustituciones trigonométricas Págs. 543-548	En una primera parte se explica la forma de resolver integrales que contienen funciones trigonométricas con potencias. Es conveniente que revise las estrategias que se explican en los recuadros de las págs. 534 y 537. El método en sí consiste en hacer uso de identidades trigonométricas, aplicar ley distributiva (multiplicación) y conformar integrales que se resuelven mediante sustituciones simples. En una segunda parte se desarrolla una metodología que permite integrar funciones que contienen radicales, de igual forma, empleando una sustitución trigonométrica adecuada, conseguir eliminar el radical. El tipo de sustitución que se debe hacer para cada caso que puede presentarse, se explica en el recuadro de la pág. 543. No olvidar que luego de un cambio de variable, hay que retornar a la variable inicial.	De la sección 8.4, pág. 549, seleccione por lo menos tres de los ejercicios entre el 21 y 42, busque la sustitución trigonométrica que le permita resolver la integral.
1.3. Fracciones Parciales. Págs. 552-558	Se desarrolla el proceso algebraico de descomposición de fracciones complejas en simples, y en lugar de integrar la fracción compleja, se integra sus equivalentes fracciones simples. En la mayoría de ejemplos suele utilizarse la forma log para integrar las fracciones simples. Vea ejemplos de la sección 8.5. La descomposición dependerá del tipo de factor que esté presente en el denominador, los más comunes son lineales y cuadráticos.	De la sección 8.5 resuelva los ejercicios referentes a desarrollo de conceptos (del 53 al 55). Si esta técnica ya la revisó en Algebra, solo haga uso de ella; pero si no, deberá revisar su funcionamiento antes de aplicar a las integrales.
1.4. Integrales impropias. Págs. 578-584	Terminamos este capítulo revisando una clase especial de integrales, que se caracterizan por dos aspectos: o bien la función a integrar es discontinua, o bien los límites de integración son infinitos, por lo menos unos de ellos; esto ocurre cuando hay presencia de asíntotas verticales en el intervalo de integración. Hay casos en los que la integral no converge, es decir el área es infinita.	De igual forma que en las unidades precedentes, conteste las preguntas que se proponen en la sección 8.8, referentes a desarrollo de conceptos (ejercicios 63-66).

[editar] Capitulo 5:SERIES INFINITAS

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[editar] Conceptos Claves:

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• Sucesión

Es una función que asigna a cada elemento del conjunto de los naturales un elemento en el conjunto de los reales. En otras palabras, es una secuencia de términos que están en correspondencia uno a uno con el conjunto de los naturales. Una sucesión se denota por , donde an representa el término n-ésimo o término general.

• Convergencia de una sucesión

Una sucesión es convergente si:. A medida que aumenta el número de términos de la sucesión, se aproximan a un determinado valor constante L.

Revise más información al respecto, así como algunas propiedades de los límites de sucesiones en la sección 9.1 del texto básico.

Para determinar el término n-ésimo de una sucesión una forma práctica es el reconocimiento de patrones, proceso que permite obtener una fórmula del término general de la sucesión, y a partir de ésta se puede investigar la convergencia o divergencia de dicha sucesión.

• Sucesión monótona

Se dice de aquellas sucesiones que son o bien crecientes o bien decrecientes, pero no las dos cosas a la vez. Se habla de monotonía estricta cuando todos los términos de la sucesión tienen diferente valor.

• Serie Infinita

Representa la sumatoria de infinitos términos. Simbólicamente: .

Una serie es convergente si la n-ésima suma parcial de la serie tiende a un valor específico. Véase ejemplos en la sección 9.2

• Criterio de Convergencia

Método que permite verificar si una serie es convergente o divergente. Entre los más importantes destacamos: Criterio de la integral y de las p-series, criterio del cociente y criterio de la raíz. Existen otros más, cuya revisión queda a disposición del alumno.

• Polinomio de Taylor

Sirve para determinar una secuencia de términos que aproximan a una función real. La condición es que la función sea diferenciable y luego se evalúan las derivadas en un punto central denotado por c; cuando c = 0 el polinomio toma el nombre de Maclaurin. Lea y revise más información sobre esta unidad en la sección 9.7.

[editar] Esquema de Estudio:

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A continuación se detallan los temas que se deben desarrollar en este segundo capítulo, con una breve explicación de cada unidad y algunas actividades que se recomienda sean desarrolladas para una mejor comprensión del tema. Es necesario que usted estimado(a) alumno(a) haga uso de los renglones en blanco dentro del cuadro, para que lleve un control personal del tiempo de dedicación a cada tema, marque las actividades en las cuales estima que requiere tutoría y realice anotaciones personales de algunas notas clave que le ayude a recordar el tema.

Tema a revisar	Descripción del Contenido a revisar	Actividades Recomendadas	Planificación Personal del estudio (fecha)	¿Requiero Tutorial?	Anotaciones
2.1. Sucesiones. Págs. 594-601	En esta sección se describen las características más importantes de una sucesión, así como también algunos teoremas que permiten determinar la convergencia. Una propiedad fundamental de las sucesiones es la monotonía, la misma que se puede verificar en forma gráfica o analítica. La forma gráfica debe definir una trayectoria creciente o decreciente de puntos, y la forma analítica se basa en escribir los primeros términos y observar la tendencia, luego aplicar algunas operaciones algebraicas.	En la sección 9.1 dispone de una gran variedad de ejercicios referentes a este tema, de ellos seleccione algunos que le permitan desarrollar la capacidad de: describir patrones, analizar la convergencia mediante el límite y la monotonía. Por lo menos un par de ejemplos para cada caso.
2.2. Series. Págs. 606-611. Criterio de la Integral y p-serie Págs. 617-620. Criterio del cociente y Criterio de la raíz. Págs. 639-643	En esta unidad se explica algunos modelos de series infinitas y sobre todo los criterios más utilizados para el análisis de la convergencia de series. En nuestro caso solo pondremos énfasis en el Criterio de la Integral (por obvias razones), criterio del cociente y criterio de la raíz. En general, para determinar la convergencia es necesario tener presente las operaciones con límites infinitos, ya que esto facilitará el análisis. El criterio de la integral utiliza integración impropia para analizar la convergencia; el criterio del cociente aplica el limite al cociente entre el término n+1-ésimo y el término n-ésimo; y el criterio de la raíz se basa en el empleo del límite de una raíz de índice n. En la pág. 644 hay un cuadro resumen de los criterios de convergencia de series.	Haga un esquema con los principales tipos de series que aparecen en el texto básico, con un ejemplo en cada caso. Adicionalmente, proponga y resuelva un par de ejemplos de convergencia de series por cada método descrito. Puede ayudarse de los ejercicios propuestos en el texto.
2.3. Series de Potencias. Serie de Taylor y Maclaurin. Págs. 648-684	Empieza la explicación con el desarrollo de dos importantes polinomios Taylor y Maclaurin, y su empleo en la aproximación a funciones reales, destacando las condiciones que debe cumplir la función que se quiere aproximar. Más adelante se define una clase importante de serie llamada de potencias y el respectivo análisis de convergencia; y por último, como derivación de la serie de potencias se encuentran las series de Taylor y Maclaurin; conocidas ampliamente en el estudio del cálculo y el análisis numérico. La importancia de estas últimas series radica en que son empleadas para discretizar modelos (funciones) continuos, lo que facilita el planteamiento de algoritmos que permitan determinar numéricamente alunas operaciones como derivación, cálculo de raíces, entre otras; con la ayuda de programas.	Seleccione dos funciones derivables y haga la aproximación mediante los polinomios de Taylor y Maclaurin, y compare estos polinomios con las Series de Taylor y Maclaurin, respectivamente. Finalmente realice un par de ejemplos donde obtenga una serie de potencias a partir de la lista básica ubicada en la pág. 682.