Lógica Matemática
De Computacion
La lógica es una disciplina que se ocupa de los métodos de razonamiento, proporciona reglas y técnicas para determinar si un argumento es válido o no. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. De acuerdo a lo manifestado esta disciplina reviste de una singular importancia dado que es la base fundamental en la adquisición de conocimientos y en la aplicación de éstos en otras disciplinas. El objetivo de la asignatura es proporcionar al alumno instrumentos que le permitan definir, expresar, describir y elaborar conceptos lógico matemáticos, de tal forma que desarrolle su capacidad de poder representar problemas o fenómenos reales aplicados a la carrera y a su diario vivir. Los estudiantes con la ayuda de la “lógica matemática”, serán capaces de relacionar los conocimientos (leyes, teoremas, fórmulas, etc) que se proporcionan en la carrera de informática, con los problemas que se le presentan en la vida real. La programación de la asignatura está organizada de la siguiente forma: en el primer bimestre conoceremos acerca de la importancia de la Lógica, los fundamentos de la Lógica proposicional y la Teoría de conjuntos. En el segundo bimestre abarcaremos el Sistema de numeración binario, el Álgebra booleana; y la Lógica de predicados.
Tabla de contenidos
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[editar] Objetivos Generales
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Comprender los principios básicos y utilizar las herramientas fundamentales de la lógica y la matemática, que le permitan conocer a esta disciplina como parte de la formación profesional.
[editar] Objetivos Especificos
1. Identificar las nociones básicas de la lógica matemática y entender la utilidad de la lógica en las ciencias de la computación.
2. Formalizar enunciados del lenguaje natural o común, aplicar los operadores lógicos para la simbolización de nuevas proposiciones, aplicar las tablas de verdad en la clasificación de esquemas moleculares y demostración de identidades lógicas, utilizar las principales leyes proposicionales para la reducción de proposiciones a expresiones equivalentes, representar gráficamente una proposición mediante circuitos lógicos, aplicar las reglas de inferencia en la demostración de la validez de argumentos.
3. Conocer los fundamentos básicos sobre la teoría de conjuntos y comprender la relación entre la lógica y los conjuntos
4. Convertir números de un sistema de numeración a otro, realizar operaciones aritméticas en el sistema de numeración binario
5. Describir la operación de las compuertas lógicas, mediante sus tablas de verdad, simplificar expresiones booleanas con la aplicación de leyes y mediante el uso de mapas de karnaugh, emplear compuertas para la construcción de circuitos lógicos representados por expresiones booleanas.
6. Identificar la diferencia entre la lógica de predicados y la lógica de proposiciones, identificar los diferentes tipos de predicados que puede contener un enunciado, formalizar enunciados del lenguaje natural en el lenguaje de la lógica de predicados, comprender las reglas de cuantificadores para su aplicación en la demostración de los argumentos.
[editar] Bibliografía
Texto Básico:
- Iranzo, P. (2004), Lógica simbólica para informáticos, Ra – Ma, Madrid - España.
Bibliografía complementaria:
- Seymour, L.(1992), Matemáticas para computador, McGraw – Hill, México.
Hortalá, M., Leach, Javier., Rodríguez, Mario., (2001). Matemática discreta y lógica matemática, Segunda edición, Complutense, Madrid – España
[editar] Desarrollo del Aprendizaje
[editar] Capitulo1: INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
[editar] Datos Generales:
| Texto Base | Iranzo, P. (2004), Lógica simbólica para informáticos, Ra – Ma, Madrid – España. |
| Capítulo | 1. Introducción a la Lógica |
| Páginas | 1 – 5, 9 -12 |
| Horas de estudio empleadas para el desarrollo del contenido | 5 horas |
[editar] Propositos:
El propósito de este capítulo es introducirlo en los conceptos fundamentales de la lógica matemática e identificar las representaciones de los sistemas lógicos.
[editar] Conceptos Claves:
¿De qué trata la lógica matemática?: La lógica investiga la relación de consecuencia que se da entre una serie de premisas y la conclusión de un argumento correcto.
Lógica Proposicional Se ocupa de enunciados declarativos simples o proposiciones que se contemplan como un todo indivisible y pueden ser combinados mediante conectores.
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Lógica de Predicados Las proposiciones ya no son elementos indivisibles. Se realiza un análisis más detallado que toma como base los componentes de una proposición: términos, fórmulas atómicas, cuantificadores y conectores.
[editar] Esquema de Estudio:
A continuación se detallan los temas que se deben desarrollar, una descripción general del mismo, y un conjunto de actividades que se recomienda sean desarrolladas para una mejor asimilación de los conceptos.
| Tema a revisar | Descripción del Contenido a revisar | Actividades Recomendadas | Planificación Personal del estudio (fecha) | ¿Requiero Tutorial? | Anotaciones |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.1 Definición e Importancia de la Lógica | Este tema le resultará interesante, porque conocerá de que trata la lógica y porque es importante su estudio. | Leer las páginas 1 a 5 del texto base. Defina en tus propias palabras ¿Qué es la Lógica?, ¿De qué trata? | De la lectura realizada se podrá dar cuenta que la lógica se ocupa de las formas o estructura de los razonamientos, más no del contenido de verdad de las proposiciones particulares. | ||
| 1.2.Presentación de los Sistemas Lógicos | En este apartado introduce brevemente la definición de los dos niveles de formalización de los sistemas lógicos: Lógica proposicional y Lógica de predicados. | Leer las páginas 9 a 1 2 del texto base.
Dar una definición de la lógica proposicional y lógica de predicados. | Estas definiciones serán abarcadas en detalle en unidades posteriores. |
[editar] Capitulo2: LA LÓGICA PROPOSICIONAL
[editar] Datos Generales:
| Texto Base | Iranzo, P. (2004), Lógica simbólica para informáticos, Ra – Ma, Madrid – España. |
| Capítulo | 1. Lógica de Proposiciones
4. Cálculo Deducción Natural |
| Páginas | 17 a 29, 31 a 39, 82 a 99. |
| Horas de estudio empleadas para el desarrollo del contenido | 24 horas |
[editar] Propositos:
En este capítulo conoceremos la parte de la lógica simbólica que estudia los enunciados como un todo y sus relaciones con otros enunciados, aprenderemos a simbolizarlos y demostrar la validez de argumentos.
[editar] Conceptos Claves:
Proposición:Es aquel enunciado que afirma o niega algo y que puede ser verdadero (V) o falso (F). Por esto es que a la lógica de proposiciones también se la conoce como lógica binaria, porque sólo tiene dos categorías de clasificación: las proposiciones verdaderas y las proposiciones falsas.
Enunciados Simples o Atómicos:Expresan una sola idea en su forma más simple. Aquellas proposiciones que no contienen dentro de sí más proposiciones que sí misma.
Enunciados Compuestos o Moleculares:Se construyen a partir de los enunciados simples, por medio de diversas partículas de enlace (y, o, si.. entonces.., ..si y sólo si.. ) llamadas conectivas.
- Circuito Lógico:Según Boole George, un circuito lógico es: La disposición de conductores e interruptores que conecta dos terminales. Donde un interruptor cerrado permite que fluya corriente y uno abierto impide su flujo.</p>
Inferencia Lógica:Es una operación lógica que consiste en concluir una cierta proposición en forma inmediata sobre la base de una o dos proposiciones previamente asumidas llamadas premisas.
[editar] Esquema de Estudio:
A continuación se detallan los temas que se deben desarrollar, una descripción general del mismo, y un conjunto de actividades que se recomienda sean desarrolladas para una mejor asimilación de los conceptos.
| Tema a revisar | Descripción del Contenido a revisar | Actividades Recomendadas | Planificación Personal del estudio (fecha) | ¿Requiero Tutorial? | Anotaciones |
|---|---|---|---|---|---|
| 2.1.Lenguaje Formal de la lógica de proposiciones | Trata de la formalización de los enunciados y su representación utilizando conectivas. | Dar lectura a las páginas 17 a 23 del texto base, poner mayor énfasis en la página 19 que muestra las frases que en nuestro lenguaje natural representan las conectivas. Otro tema de interés es la precedencia entre conectivas explicada en las páginas 22 y 23. | |||
| 2.2.Traducción del lenguaje natural al lenguaje formal | Pautas para la formalización de enunciados | Con las páginas 23 y 24 del texto base se tendrá una mayor destreza para la traducción de enunciados.
Traducir al lenguaje formal los enunciados: a. María juega y canta. b. 4 ≤ 6 c. No es cierto que, Pablo no canta pero baila. | |||
| 2.3.Conectivas, Tablas de Verdad y Funciones de Verdad | Se estudia el significado de cada conectiva y sus tablas de verdad. | Para conocer cuál es el significado de las conectivas, revisar con atención las páginas 25 a la 29 del texto base, así mismo podrá observar que por cada conectiva se presenta su tabla de verdad.
Con la lectura de las páginas 31 a la 34 del texto base, hallará los pasos en los cuales se puede basar para la construcción de tablas de verdad. Construir las tablas de verdad de: a. ((P ^ Q) → ¬P) v (P → ¬Q) b. (P ^ Q) → (¬R v P) | |||
| 2.4. Valoración y Equivalencia Lógica | En este apartado se aprenderá a reconocer la equivalencia entre enunciados y algunas equivalencias notables. | Dar lectura a las páginas 34 a 38, deténgase a repasar las equivalencias de la tabla 2.3 del texto base, si desea demostrar si son equivalentes puede hallar las tablas de verdad. | Otras formulas que necesita dominar son:
Elemento neutro A ^ V ≡ A A v F ≡ A Complemento (Contradicción) A ^ ¬ A ≡ F A v ¬ A ≡ V Implicación Material (Condicional) A → B ≡ ¬ A v B Contraposición A → B ≡ ¬B → A Bicondicional A ↔ B ≡ (A → B) ^ (B → A) | ||
| 2.5.Reducción de Proposiciones | Se trabaja con las formulas de equivalencia para reducir proposiciones. | Aplicando las fórmulas de equivalencia o leyes de equivalencia se puede lograr reducir una proposición bastante compleja, para esto es necesario descargar del área de materiales del campus virtual el documento “capitulo2” y encontrará los pasos necesarios.
Reducir o Simplificar los siguientes esquemas lógicos: [(P→ ¬Q) → ¬P ] → Q [(P ^ Q) → ¬R] v [P → (Q→ ¬R)] | Es importante ir anotando paso por paso en el lado derecho de los enunciados el nombre de la fórmula de equivalencia utilizada para la simplificación. | ||
| 2.7.Inferencia Lógica | Trata de los métodos de demostración para la validación de argumentos. | Dar lectura al texto base páginas 82 a 84 y 85 a 97, luego en las páginas 97 a 99 encontrará algunos consejos para la resolución de argumentos.
Para aclarar las ideas y obtener una mayor explicación mediante ejercicios puede leer el documento “capitulo2”. | Es importante recalcar que el nombre dado a las reglas de inferencia suele variar dependiendo del autor, nosotros trabajaremos con los nombres y abreviaturas dadas en el documento “Capítulo 2”
De lo leído es necesario que sepa que es una regla de inferencia y cuáles existen, como trabaja el método directo e indirecto (reducción al absurdo) para las demostraciones de argumentos. |
[editar] Capitulo 3: TEORÍA DE CONJUNTOS
[editar] Datos Generales:
| Texto Base | Iranzo, P. (2004), Lógica simbólica para informáticos, Ra – Ma, Madrid – España. |
| Apendice | A |
| Páginas | 271 a 273 |
| Horas de estudio empleadas para el desarrollo del contenido | 4 horas |
[editar] Propósitos:
Conocer los conceptos fundamentales de teoría de conjuntos y comprender su relación con la lógica matemática.
[editar] Conceptos Claves:
- ¿Qué es un conjunto?: Es una colección de objetos que se denominan elementos.
Relación entre los operadores de teoría de conjuntos y la lógica matemática: La unión es la disyunción, la intersección es la conjunción, el complemento es la negación y la inclusión es la implicación, además que el conjunto vacío es la falsedad y el conjunto universo es la verdad.
[editar] Esquema de Estudio:
A continuación se detallan los temas que se deben desarrollar, una descripción general del mismo, y un conjunto de actividades que se recomienda sean desarrolladas para una mejor asimilación de los conceptos.
| Tema a revisar | Descripción del Contenido a revisar | Actividades Recomendadas | Planificación Personal del estudio (fecha) | ¿Requiero Tutorial? | Anotaciones |
|---|---|---|---|---|---|
| 3.1Revisión de conceptos básicos de conjuntos. | En este apartado se conocerá los conceptos fundamentales de teoría de conjuntos. | Además de leer las páginas 271 a 273 del texto base es necesario dar una lectura al anexo 1 del documento “anexos” disponible en el campus virtual, luego podrá responder:
1. Indicar cuales de las afirmaciones son correctas o no, si se conocen los conjuntos: A= {a,b,c,d,e,f,g} B={b,c,e} C={e,d,b} A ⊂ B, A ⊆ B, B = C , d ∈ C 2. Determinar el conjunto potencia de los conjuntos: A= {2,4, 8} B={ i , u} Analice ¿cómo serían los computadores si Thomas Watson no hubiera los pasos que hicieron de IBM una importante empresa y centro de investigación? | |||
| 3.2.Relación entre la Lógica y los conjuntos. | Se estudia la relación entre la lógica y los conjuntos, como también la representación en términos de lógica de los operadores de conjuntos. | Dar lectura al documento “capitulo3” disponible en el área de materiales del campus virtual. |
[editar] Capitulo 4: SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
[editar] Datos Generales:
| Texto Base | Documento “capitulo4” disponible en el área de materiales del campus virtual. |
| Capítulo | 4. Sistema de Numeración Binario |
| Páginas | 1 a 8 |
| Horas de estudio empleadas para el desarrollo del contenido | 12 horas |
[editar] Propósitos:
El propósito de este capítulo es conocer como trabaja el sistema de numeración binario, como realizar transformaciones a otros sistemas y operaciones aritméticas básicas.
[editar] Conceptos Claves:
- Sistema Binario: Utiliza los dígitos 0 y 1, cada uno representa un bit de información.
- Complentos Binarios: Son utilizados para representar el signo de un número mediante la reserva de un bit, el número 0 para números positivos (+) y 1 para números negativos (-).
[editar] Esquema de Estudio:
A continuación se detallan los temas que se deben desarrollar, una descripción general del mismo, y un conjunto de actividades que se recomienda sean desarrolladas para una mejor asimilación de los conceptos.
| Tema a revisar | Descripción del Contenido a revisar | Actividades Recomendadas | Planificación Personal del estudio (fecha) | ¿Requiero Tutorial? | Anotaciones |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.1Sistema Decimal. | Este apartado da una descripción de la representación expandida de los números decimales. | Dar lectura a la página 1 del documento “capitulo4” del área de materiales del campus virtual.
Escriba en notación expandida los números: 2468 y 146.723 Revise las funciones del escáner y su forma de trabajo. | |||
| 1.2
Sistema Binario | Detalla la forma en que se trabaja en el sistema de numeración binaria y como realizar las conversiones a otros sistemas. | RDar lectura a las páginas 1 a 3 del documento “capitulo4” del área de materiales del campus virtual.
Convierta los siguientes números decimales a sus equivalentes en base . 219 y 1298.210 Encontrar el equivalente decimal de los siguientes números binarios. 110011001 1001110.110 Convertir a sistema octal y hexadecimal los siguientes números binario 101110 y 1001.101. | Revisar el anexo 2 para conocer como realizar las conversiones hacia los sistemas octal y hexadecimal, es necesario acceder al campus virtual y descargar del área de materiales el documentos “anexos”. | ||
| 1.3 Operaciones Binarias | Revisión de las operaciones aritméticas binarias. | Dar lectura a las páginas 3 a 6 del documento “capitulo4” del área de materiales del campus virtual.
Realizar las operaciones siguientes: 11101 + 100.10 10011 – 1001 101.11 * 11.1 101.10 / 1101.101 | |||
| 1.4 Complementos Binarios | Como hallar los complementos binarios. | Dar lectura a las páginas 6 a 8 del documento “capitulo4” del área de materiales del campus virtual.
Realizar las siguientes operaciones utilizando complementos binarios: 15 – 13 13 – 15 |
[editar] Capitulo 5: ALGEBRA BOOLEANA : FANTASMA DE LA MÁQUINA
[editar] Datos Generales:
| Texto Base | Documento “capitulo5” disponible en el área de materiales del campus virtual. |
| Capítulo | 5. Algebra Booleana |
| Páginas | 1 a 9 |
| Horas de estudio empleadas para el desarrollo del contenido | 12 horas |
[editar] Propósitos:
En este capítulo estudiaremos principalmente las compuertas lógicas que son los circuitos lógicos cuyo funcionamiento puede describirse mediante el uso del álgebra booleana.
[editar] Conceptos Claves:
- Forma Normal Disyuntiva
La función booleana adopta esta forma cuando la función está escrita como una suma de términos, donde cada término es un producto que involucra todas las “n” variables con negación o sin ella. Cada término se llama término minimal o minterm. La función recibe el nombre de función polinomial de términos minimales.
- Forma Normal Conjuntiva
La función booleana adopta esta forma si está escrita como un producto de términos, en la cual cada término es una suma que involucra todas las “n” variables, con complementación o sin ella. Cada término se denomina término maximal o maxterm.
[editar] Esquema de Estudio:
A continuación se detallan los temas que se deben desarrollar, una descripción general del mismo, y un conjunto de actividades que se recomienda sean desarrolladas para una mejor asimilación de los conceptos.
| Tema a revisar | Descripción del Contenido a revisar | Actividades Recomendadas | Planificación Personal del estudio (fecha) | ¿Requiero Tutorial? | Anotaciones |
|---|---|---|---|---|---|
| 5.1. Algebra de Boole y Operadores Boléanos | Conceptos de algebra de boole, operaciones booleanas, propiedades del algebra de boole. | Dar lectura a las páginas 30 a la 32 del texto base, ahí el autor da una breve introducción al álgebra de Boole, además completar dando lectura a las páginas 1 a 3 del texto “capitulo5” disponible en el área de materiales del campus virtual. | Completar los conceptos con el documento “capíiulo5” disponible en el área de materiales del campus virtual. | ||
| 5.2. Funciones o Expresiones Booleanas | Descripción de las formas normales | Dar lectura a las páginas 3 a 5 del texto “capitulo5” disponible en el área de materiales del campus virtual. | |||
| 5.3. Simplificación de Expresiones Booleanas | Simplificación de expresiones mediante teoremas y mapas de karnaugh. | Dar lectura a las páginas 5 a 9 del texto “capitulo5” disponible en el área de materiales del campus virtual.
Simplificar la función booleana xyz + xyz’ + x’yz. + x’yz’, utilizando los dos métodos de simplificación. |
[editar] Capitulo 6: LÓGICA DE PREDICADOS
[editar] Datos Generales:
| Texto Base | Iranzo, P. (2004), Lógica simbólica para informáticos, Ra – Ma, Madrid – España. |
| Capítulo | 5. Semántica
7. Cálculo de Deducción Natural |
| Páginas | 110 a 142
177 - 190 |
| Horas de estudio empleadas para el desarrollo del contenido | 12 horas |
[editar] Propósitos:
En esta unidad se han contemplado temas que proporcionarán los conocimientos básicos para poder reconocer y simbolizar enunciados cuantificacionales
[editar] Conceptos Claves:
- Functores: Es una expresión que seguida de un número determinado de designadores, forman otro designador.
- Relator: Son expresiones lingüísticas que están acompañadas de designadores.
- Cuantificadores: Son expresiones lingüísticas como todo o alguno.
[editar] Esquema de Estudio:
A continuación se detallan los temas que se deben desarrollar, una descripción general del mismo, y un conjunto de actividades que se recomienda sean desarrolladas para una mejor asimilación de los conceptos.
| Tema a revisar | Descripción del Contenido a revisar | Actividades Recomendadas | Planificación Personal del estudio (fecha) | ¿Requiero Tutorial? | Anotaciones |
|---|---|---|---|---|---|
| 6.1. Nombres, Funtores y Relatores | Se estudiará lo que es un nombre, variables, constantes, functores y relatores. | Leer el texto base páginas 110 a 113.
Identificar a que clase de predicados pertenecen los siguientes enunciados: a. Este libro es interesante. b. 6 es la media aritmética de 8 y 12. c. El duplo de 9 es 18 Identificar los nombres y los relatores, luego simbolizar los siguientes enunciados: a. Los pintores son artistas b. Quito es una capital c. 7 no es número par o bien 4≠ 7 | Simbólicamente podemos representar los nombres propios con letras minúsculas y el predicado o relator con letras mayúsculas, coomo por ejemplo:
“juan es travieso” nombre propio Juan: j predicado o relator travieso: T “T(j)” que podemos leer como “j tiene la propiedad T” o “ j es T” Variables Individuales Juan es grande j Rosa es grande r j y r son constantes porque nombrab siepre a un supuesto individuo concreto (Juan o Rosa) Las letras minúsculas x, y, z en cambio se utilizan para nombrar a un individuo cualquiera, no importa quién, ejemplo: x es grande Clases de predicados o Relatores a. Predicados monádicos (o monarios).- Consiste en la atribución de una propiedad a un sujeto. Maria canta: C(m) 3 es impar : I(3) b. Predicados poliádicos.- Expresan una relación entre varios individuos Alfredo rie con Luis: R(a,l) o aRl Juan viio a Maria en Cuenca: V(j,m,c) o jVmc c. Predicados asignificativos.- Existen expresiones predicativas que aplicadas a uno o más individuos asignan a éste o a éstos otro individuo. El cuadrado de 2 es 4: C(2) = 4 El hijo de Jaime y Carlos es Alberto: H(j, c)=a Funciones (o funtores) Formados por variosdesignadotes: Sansón se armó con la quijada de Platero: R(a, f(b)) Donde f(b) simboliza “la quijada de Platero” | ||
| 6.2. Cuantificadores | Se conocerá los cuantificadores universales y existenciales. Además su simbolizarlos, y las conectivas lógicas empleadas para cada cuantificador. | Leer las páginas: 113 a la 115 del libro base.
Simbolizar las proposiciones: a. Ningún número par es entero b. Algunos niños son traviesos c. Para cada x, x >5 | Cuantificador Universal o Generalizador:
Todo, Para todo, Cualquiera, Cada, Ninguno. El símbolo del cuantificador universal “todo”, puede ser “Λ” ó ∀ Cuantificador Existencial o Particularizador: Algunos, Para algún, Hay un, Algún, Ciertos. El símbolo del cuantificador existencial puede ser “V” ó “∃”. Ejemplos: Todo número entero es real (Λx)(E(x) → R(x)) Algunos lógicos son incorregibles (Vx)(L(x) ∧ I(x)) Hay un amigo de María que es ingeniero (∃x)(xAm ∧ Ix) Todo par es múltiplo de 2 (∀x)(Px → xM2) o (∀x)(Px → M(x,2)) | ||
| 6.3. Lenguaje formal de primer orden | Traducción de frases del lenguaje natural a formulas del lenguaje de la lógica de predicados. | Dar lectura a las páginas 116 a la 119 del libro base.
Para este tema es necesario además revisar el anexo 4 del documento “anexos” disponible en el campus virtual. | Ejemplo:
Pedro será buen jugador si y sólo si practica todos los días. A = será buen jugador B = práctica todos los días Si representamos a pedro por “ p“, nos quedaría: A(p) ↔ B(p) | ||
| 6.4. Teoría de Modelos | Se estudiara lo que es un término, cómo interpretar un formalismo, como traducir argumentos del lenguaje natural al lenguaje formal con la ayuda de interpretaciones, enunciados categóricos, lo que son las interpretaciones. | Dar lectura al texto base páginas 121 a 142, poner mayor atención a la tabla 5.2 y los ejercicios de la 131.
Cuál es el equivalente lógico en lenguaje natural y símbolos de los enunciados:
| De la lectura realizada es necesario resumir lo siguiente:
constantes, variables, f(t1, t2, . . . , tn), donde t1, . . . , tn son términos.
A veces se precisa la cuantificación de dos o más variables individuales en una misma proposición, algunos ejemplos: Hay un número impar menor que cualquier par En el lenguaje formal: (Λx)(Vy)((Iy ∧ Px) ∧ y<x) cualquier bandido es más hábil que todo artista simbolizando: (Λx)( Λy)((Bx ∧ Ay) → xHy) Ejemplos de enunciados categóricos: Todo pato vuela Ningún pato vuela (todo pato no vuela) Algún pato vuela Algún pato no vuela Equivalencia entre cuantificadores Los cuantificadores guardan entre sí ciertas relaciones lógicas de las cuales pongo a consideración las de equivalencia. Supongamos estas cuatro proposiciones cuantificadas: 1. Todo camina (Λx)(Cx) 2. Nada camina (todo no camina) (Λx)( ¬Cx) 3. Algo camina (Vx)(Cx) 4. Algo no camina (Vx)( ¬Cx) Neguemos ahora cada una de estas proposiciones cuantificadas: 1. No todo camina ¬(Λx)(Cx) 2. No se da que nada camina (no todo no camina) ¬(Λx)( ¬Cx) 3. No sucede que algo camina ¬(Vx)(Cx) 4. No sucede que algo no camina ¬(Vx)(¬Cx) Si comparamos se verá que son equivalentes: (Λx)(Cx) ≡ ¬ (Vx)( ¬Cx) (Λx)( ¬Cx) ≡ ¬ (Vx)(Cx) (Vx)(Cx) ≡ ¬(Λx)( ¬Cx) (Vx)( ¬Cx) ≡ ¬(Λx)(Cx) Ejemplos: Todos los cisnes son blancos (Λx)(Cx → Bx) Es equivalente a: No hay un solo cisne que no sea blanco ¬ (Vx)( Cx ∧ ¬Bx) | ||
| 6.5. Cálculo de deducción Natural | Aplicación de reglas de inferencias en las que aparecen cuantificadores para ser utilizadas en los métodos de prueba y de deducción. | Dar lectura a las páginas 177 a 190. | Ejemplos:
Demuestre que: { Λx (P(x) → Q(x)), Λx P(x)} |− Λx Q(x) Siguiendo los consejos señalados en la lectura se tiene: (1) Λx (P(x) → Q(x)) (2) Λx P(x) (3) (P(p) → Q(p)) Elimi Gener. (1) (4) P(p) Elimi Gener.(2) (5) Q(p) MP (3) y (4) (6) Λx Q(x) Introd. Gene. en (5) Si se tiene el siguiente razonamiento: 1. Cada ciudadano de California es un ciudadano de los Estados Unidos. 2. El gobernador Brown es un ciudadano de California. Por, tanto el gobernador Brown es un ciudadano de los Estados Unidos. Simbolizando las premisas y la conclusión de este razonamiento, entonces se tiene lo siguiente: Demostrar: Ub (1) (Λx)(Cx → Ux) (2) Cb (3) Cb →Ub EG (1) (4) Ub MP(2,3) |
